声子能量守恒

声子BTE

弛豫时间近似下的瞬态声子BTE为： \[ \frac{\partial f_\omega}{\partial t} + \boldsymbol{v_\omega}\cdot\nabla f_\omega = -\frac{f_\omega - f_\omega^0}{\tau_\omega} \] 一维情况下，方程可以退化为： \[ \frac{\partial f_\omega}{\partial t} + \mu v_\omega\frac{\partial f_\omega}{\partial x} = -\frac{f_\omega - f_\omega^0}{\tau_\omega} \] 其中\(\mu = \cos\theta\)，将方程左右两边同时乘以\(\hbar \omega D(\omega)/4\pi\)，可以得到能量的声子BTE： \[ \frac{\partial e_\omega}{\partial t} + \mu v_\omega\frac{\partial e_\omega}{\partial x} = -\frac{e_\omega - e_\omega^0}{\tau_\omega} \] 平衡分布为 \[ e_\omega^0(T) = \frac{ \hbar \omega D(\omega)f_{BE}(T)}{4\pi} \] 其中 \[ f_{BE}(T) = \frac{1}{\exp(\frac{\hbar\omega}{k_BT} ) - 1} \]

平衡分布的计算

根据能量守恒，可以得到如下等式 \[ \int_0^{\omega_m}\int_{-1}^{1}\frac{e_\omega}{\tau_\omega}\mathrm{d}\mu\mathrm{d}\omega = \int_0^{\omega_m}\int_{-1}^{1}\frac{e_\omega^0}{\tau_\omega}\mathrm{d}\mu\mathrm{d}\omega \] 这里要做一些说明，BTE是针对每一个声子频率的BTE，因为不同频率（模式）的声子的群速度和弛豫时间不同。而一旦涉及到了宏观物理量的守恒，是所有频率的声子贡献之和守恒，而不能仅仅考虑一个模式下的守恒。声子的能量守恒可以表达为：

\[\begin{aligned} &\frac{\partial e}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{q} = 0 \\ &e = \int_\Omega \mathrm{d}\Omega \int_0^{\omega_m} e_\omega \mathrm{d}\omega \\ &\boldsymbol{q} = \int_\Omega \mathrm{d}\Omega \int_0^{\omega_m}e_\omega\boldsymbol{v_\omega}\mathrm{d}\omega \\ \end{aligned}\]

对于积分中的立体角，要理解频率的积分是怎么来的，计算热流通量时原始的表达式实际上是对每一个声子模式求和： \[ \boldsymbol{q} = \sum_s\left[ \frac{1}{V} \sum_{k_{x}}\sum_{k_y}\sum_{k_z}\boldsymbol{v}\hbar\omega f \right] \] 把求和转换成积分，可以得到： \[ \boldsymbol{q} = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\boldsymbol{v}\hbar\omega f \frac{\mathrm{d}k_x\mathrm{d}k_y\mathrm{d}k_z}{8\pi^3} \] 把笛卡尔坐标系转换到球坐标系中，此时才可以把\(\mathrm{d}k\)转换为\(\mathrm{d}\omega\)： \[ \boldsymbol{q} = \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_{0}^{\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\omega_m}\boldsymbol{v}\hbar\omega f \frac{D(\omega)}{4\pi}\mathrm{d}\omega = \int_\Omega \frac{1}{4\pi}\mathrm{d}\Omega \int_0^{\omega_m}\boldsymbol{v}\hbar\omega f D(\omega) \mathrm{d}\omega \] 所以当考虑所有频率的声子贡献时，如果是对频率积分，必须同时对立体角作积分。如果这个性质与方向无关，那么立体角部分积分为1，此时就好像是只需要对频率本身积分，这也是态密度\(D(\omega)\)要这么定义的原因。实际上能量守恒的表达式就是把能量声子BTE两边对频率和立体角积分，于是方程右侧变为： \[ \int_\Omega \mathrm{d}\Omega \int_0^{\omega_m} -\frac{e_\omega - e_\omega^0}{\tau_\omega} \mathrm{d}\omega = 0 \] 在一维情况下，可以得到： \[ \int_0^{\omega_m}\int_{-1}^{1}\frac{e_\omega}{\tau_\omega}\mathrm{d}\mu\mathrm{d}\omega = \int_0^{\omega_m}\int_{-1}^{1}\frac{e_\omega^0}{\tau_\omega}\mathrm{d}\mu\mathrm{d}\omega \] 同时，在小温差近似下，可以得到： \[ e_\omega^0(T) = \frac{\hbar \omega D(\omega)f_{BE}(T)}{4\pi} \approx e^0_\omega(T_0) + \frac{C(\omega)}{4\pi} \Delta T \] 其中\(\Delta T = T - T_0\)，于是温度可以被表示为： \[ \Delta T=\frac{4 \pi}{\int_{0}^{\omega_{m}}\int_{-1}^1\left(C_{\omega} / \tau_{\omega}\right) \mathrm{d} \mu \mathrm{d} \omega} \int_{0}^{\omega_{m}} \int_{-1}^{1} \frac{e_{\omega}-e_{\omega}^{0}\left(T_{0}\right)}{\tau_{\omega}} \mathrm{d} \mu \mathrm{d} \omega \] 把温度表达式带回平衡分布的线性展开式中，可以得到： \[ e_\omega^0(T) = \frac{\hbar \omega D(\omega)f_{BE}(T)}{4\pi} \approx e^0_\omega(T_0) + \frac{C(\omega)}{\int_{0}^{\omega_{m}}\int_{-1}^1\left(C_{\omega} / \tau_{\omega}\right) \mathrm{d} \mu \mathrm{d} \omega} \int_{0}^{\omega_{m}} \int_{-1}^{1} \frac{e_{\omega}-e_{\omega}^{0}\left(T_{0}\right)}{\tau_{\omega}} \mathrm{d} \mu \mathrm{d} \omega \] 再带回BTE中，可以得到未知量只有\(e_\omega\)的方程： \[ \frac{\partial e_\omega}{\partial t} + \mu v_\omega\frac{\partial e_\omega}{\partial x} = -\frac{e_\omega}{\tau_\omega} + \frac{ e^0_\omega(T_0) + \frac{C(\omega)}{\int_{0}^{\omega_{m}}\int_{-1}^1\left(C_{\omega} / \tau_{\omega}\right) \mathrm{d} \mu \mathrm{d} \omega} \int_{0}^{\omega_{m}} \int_{-1}^{1} \frac{e_{\omega}-e_{\omega}^{0}\left(T_{0}\right)}{\tau_{\omega}} \mathrm{d} \mu \mathrm{d} \omega}{\tau_\omega} \] 一个复杂的积分微分方程，需要同时在坐标空间、频率空间、立体角空间作离散，数值求解。