无量纲温升、热阻、等效热导率

Hua Y C, Li H L, Cao B Y. Thermal spreading resistance in ballistic-diffusive regime for GaN HEMTs[J]. IEEE Transactions on Electron Devices, 2019, 66(8): 3296-3301.

研究背景

对于这样一个上侧中心有一窄热源热流输入，底部为热沉边界的体系，建立一个模型以预测系统的总热阻。这里面系统的几何信息可以用两个参数描述，\(w_g/w\)和\(w/t\)，此时还需要另一个参数​描述弹道效应，也就是声子自由程和体系特征尺寸的关系。在灰体近似下，由于所有声子只有一个平均自由程，因此建立模型的时候不需要分别考虑实际的特征尺寸和自由程，可以用努森数描述这两个尺寸的关系： \[ Kn = l_{MFP}/L_c \] 因此在模型或者蒙特卡洛模拟中，平均自由程这个量并不重要，只需要定义它和系统尺寸的比例就可以了，这也是灰体近似下得以大幅简化的一点，在建立模型时用到的特征参数也只有努森数。当然在处理实际问题时，器件的尺寸是给定的，这时就要好好考虑此时体系的平均自由程应该怎么取。

考虑色散后，各模式的声子自由程完全由色散关系给定，此时无法定义一个统一的特征长度比例了，必须给定系统的实际尺寸。也就是说当对比考虑色散蒙特卡洛模拟和灰体蒙特卡洛模拟时，必须仔细考虑灰体下平均自由程的选取。含灵师兄这篇文章讨论的也主要是灰体近似下这个平均自由程应该如何选取：

Li H L, Shiomi J, Cao B Y. Ballistic-Diffusive Heat Conduction in Thin Films by Phonon Monte Carlo Method: Gray Medium Approximation Versus Phonon Dispersion[J]. Journal of Heat Transfer, 2020, 142(11): 112502.

这时候对于这个工作就会存在一个问题，之前华师兄的模型是在灰体近似下提出的，里面还有用努森数拟合的半经验模型，在考虑色散后这个模型应该怎么扩充？可能需要根据色散模型重新提出来一个平均自由程去做拟合。

无量纲温升和热阻

定义\(R_{1d\_0}\)为假设系统满足傅里叶定律时的一维热阻： \[ R_{1d\_0} = (T_h - T_c)/Q = \frac{T_h - T_c}{k_b(T_h - T_c)w/t} = t/(k_bw) \] 由于\(R_{1d\_0}\)​只与系统的体材料热导率和形状有关，于是可以定义系统的的特征温升： \[ \Delta T_0 = Q R_{1d\_0} = Qt/(k_bw) \] 其中\(Q\)为系统流入的热流，于是无量纲温升可以定义为：

\[ \theta = \frac{\Delta T}{\Delta T_0} = \frac{\Delta T}{QR_{1d\_0}} = \frac{R}{R_{1d\_0}} \] 从上面的表达式可以看到，这个定义的系统无量纲温升，实际上就是热阻和\(R_{1d\_0}\)之比。系统的总热阻为： \[ R_t = \frac{\int_{source}\Delta T \mathrm{d}s}{Q} = \frac{\overline{\Delta T}_{source}}{Q} = \frac{R_{1d\_0}\overline{\Delta T}_{source}}{R_{1d\_0}Q} = \overline{\theta}_{source}R_{1d\_0} \] 统计得到的热源区域的平均无量纲温升，就是标准化后的系统总热阻

热阻分解

在考虑弹道效应的扩展热阻问题分析中，可以把体系分解成两个更简单的情况的叠加，即不考虑弹道效应的扩展部分+考虑弹道效应的一维部分，基于这种考虑，可以把总热阻的表达式写为： \[ \frac{R_t}{R_{1d\_0}} = \frac{R_F}{R_{1d\_0}}\cdot \frac{R_{1d}}{R_{1d\_0}}\cdot \left[ \frac{R_t}{R_{1d}}\left( \frac{R_F}{R_{1d\_0}} \right)^{-1} \right] = \frac{R_F}{R_{1d\_0}}\cdot \frac{R_{1d}}{R_{1d\_0}}\cdot r_w \] 其中\(R_F\)​是傅里叶定律下（不考虑弹道效应）的总热阻，\(R_{1d}\)​​​​​​​​​​​是假设热流在热源平面均匀分布时（不考虑扩展效应）的一维热阻（实际是就是该情况下的总热阻），\(R_{1d\_0}\)是傅里叶定律下的一维热阻。定性上可以认为，右边第一项主要反映了扩展效应对热阻的影响，第二项主要反映了跨平面弹道效应对热阻的影响，第三项主要反映了横向弹道效应对热阻的影响。

其中第一项，根据之前采用傅里叶展开得到的表达式（扩展热组(2)-二维情况的解析解），可以得到：

\[\begin{aligned} R_F / R_{1d\_0} &= 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8 \sin ^{2}\left(\frac{w_g n\pi}{2w}\right)\cos^2(\frac{n\pi}{2})}{w_g^2 t (\frac{n\pi}{w})^{3} \coth(\frac{tn\pi}{w} )} \\ &= 1 + (\frac{w}{w_g})^2(\frac{w}{t})\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8 \sin ^{2}\left(\frac{w_g n\pi}{2w}\right) * \cos^2(\frac{n\pi}{2})}{(n\pi)^3 \coth(\frac{tn\pi}{w} )} \end{aligned}\]

第二项，根据之前推导的一维声子导热解析解（薄膜声子导热解析解），可以得到：

\[\begin{aligned} Q &= - k_b w\frac{\partial T}{\partial y} \\ T\Big|_{y=t} - T_c &= - \frac{2}{3} \frac{ \int_0^{\omega_m}C(\omega)\tau v_g^2\mathrm{d}\omega}{\int_0^{\omega_m}C(\omega)v_g \mathrm{d}\omega}\frac{\partial T}{\partial y} \\ -\frac{\partial T}{\partial y} &= \left(T\Big|_{y=0} - T\Big|_{y=t}\right) \end{aligned}\]

从上面的关系可以得到：

\[\begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial y} &= -\frac{Q}{k_bw} \\ T\Big|_{y=t} &= T_c + \frac{2}{3}\frac{ \int_0^{\omega_m}C(\omega)\tau v_g^2\mathrm{d}\omega}{\int_0^{\omega_m}C(\omega)v_g \mathrm{d}\omega}\frac{Q}{k_bw} \\ T\Big|_{y=0} &= T\Big|_{y=t} - t \frac{\partial T}{\partial y} = T_c + \frac{2}{3}\frac{ \int_0^{\omega_m}C(\omega)\tau v_g^2\mathrm{d}\omega}{\int_0^{\omega_m}C(\omega)v_g \mathrm{d}\omega}\frac{Q}{k_bw} + t\frac{Q}{k_bw} \\ \end{aligned}\]

在两边都是等温边界条件时，此时两侧都会产生温度跳跃。然而在现在这个一边是热流边界条件时，热流边界的边界温度没法定义，也就不存在所谓的温度跳跃了，计算总热阻时的公式也就变成：

\[\begin{aligned} R_{1d} &= \left(T\Big|_{y=0} - T_c\right)/Q \\ &= \frac{2}{3}\frac{ \int_0^{\omega_m}C(\omega)\tau v_g^2\mathrm{d}\omega}{\int_0^{\omega_m}C(\omega)v_g \mathrm{d}\omega}\frac{1}{k_bw} + t\frac{1}{k_bw} \\ &= R_{1d\_0}\left( 1 + \frac{2}{3}\frac{ \int_0^{\omega_m}C(\omega)v_gl\mathrm{d}\omega}{t\int_0^{\omega_m}C(\omega)v_g \mathrm{d}\omega} \right) \\ &= R_{1d\_0}\left( 1 + \frac{2}{3}\frac{ \int_0^{\omega_m}C(\omega)v_g Kn_t\mathrm{d}\omega}{\int_0^{\omega_m}C(\omega)v_g \mathrm{d}\omega} \right) \end{aligned}\]

在灰体近似下有 \[ R_{1d} = R_{1d\_0} \left( 1 + \frac{2}{3}Kn_t \right) \]

等效热导率

可以用热阻来计算等效热导率，实际上考虑不同的热阻可以定义出不同的等效热导率： \[ R_t = \frac{t}{k_{eff}w} = \overline{\theta}_{source}R_{1d\_0} = t/(k_bw) \] 即

\[\begin{aligned} \frac{k_{eff}}{k_b} &= \frac{R_{1d\_0}}{R_t} \\ &= 1 / \left(\frac{R_F}{R_{1d\_0}}\cdot \frac{R_{1d}}{R_{1d\_0}}\cdot r_w\right) \\ &= 1 / \left[\left(1 + (\frac{w}{w_g})^2(\frac{w}{t})\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8 \sin ^{2}\left(\frac{w_g n\pi}{2w}\right) * \cos^2(\frac{n\pi}{2})}{(n\pi)^3 \coth(\frac{tn\pi}{w} )} \right) \cdot \left( 1 + \frac{2}{3}\frac{ \int_0^{\omega_m}C(\omega)v_g Kn_w\mathrm{d}\omega}{\int_0^{\omega_m}C(\omega)v_g \mathrm{d}\omega} \right) \cdot r_w\right] \end{aligned}\]

实际上和热阻相比并没有提供更多的信息，但是对于热导率来说，可以和色散模型以及Callaway等热导率模型等结合再分析一些其他的结果。