用BTE计算热导率

体材料热导率

弛豫时间近似下的声子玻尔兹曼（BTE）方程可以写成 \[ \frac{\partial f}{\partial t}+v \cdot \nabla_r f+\frac{\boldsymbol{F}}{m} \cdot \nabla_v f=-\frac{f-f_0}{\tau} \] 这个方程只描述了某一个态的声子的运动，\(f\)的含义就是该模态声子的数目，乘上\(\hbar\omega\)就是该模态声子的能量，不同模态间声子的联系是通过能量守恒方程构建的。在局域平衡近似下\(f\)的梯度可以看成平衡分布的梯度，考虑稳态过程，同时由于声子不受力，于是BTE可以简化为 \[ f = f_0 - \tau \mathbf{v}\cdot \nabla_r f_0 \] 假设在体材料中，考虑\(x\)方向的热流通量，需要求所有模态的声子贡献之和， \[ \begin{aligned} J_x &= \frac{1}{V} \sum_p\sum_{k_x}\sum_{k_y}\sum_{k_z} \hbar\omega f v_x \\ &= \sum_p \int \hbar\omega f v_x \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \\ &= \sum_p \int \hbar\omega (f_0 - \tau v_x \frac{\partial f_0}{\partial x}) v_x \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \\ &= - \sum_p \int \hbar\omega \tau v_x^2 \cdot \frac{\partial f_0}{\partial x} \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \\ &= - \sum_p \int \hbar\omega \tau v_x^2 \frac{\mathrm{d}f_0}{\mathrm{d}T} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \end{aligned} \] \(V\)是我们研究的晶体体积，\(p\)是声子支，对应同一个\((k_x, k_y, k_z)\)，声子也是有不同态的，比如硅有3个声学支和3个光学支，我们就要考虑这6个声子支的共同贡献。后面的等式是由于Heisenberg不确定关系，在相空间（\(\mathbf{x}, \mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}\)）中一个态占据的体积是\(h^3\)，于是\(k\)空间中一个波矢态的体积就是\((2\pi)^3 / V\)。

由于 \[ f_0 = \frac{1}{\exp(\hbar\omega / k_bT) - 1} \] 于是 \[ \frac{\mathrm{d}f_0}{\mathrm{d}T} = \frac{\exp(\hbar\omega/k_bT)\hbar\omega / k_b}{\left[\exp(\hbar\omega/k_bT) - 1\right]^2T^2} = \frac{\hbar\omega}{k_bT^2}f_0 (f_0 + 1) \] 于是 \[ J_x = - \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} \sum_p \int \hbar\omega \tau v_x^2 \frac{\hbar\omega}{k_bT^2}f_0 (f_0 + 1) \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \] 于是 \[ \kappa_x = \sum_p \int (\hbar\omega)^2 \tau v_x^2 \frac{1}{k_bT^2}f_0 (f_0 + 1) \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \]

Full Dispersion

声子可以取的态就分布在第一布里渊区里，所以直接离散第一布里渊区，声子可以分布的态就认为是离散出来的态。第一布里渊区的体积为\(V_b = (2\pi)^3 / V_a\)，其中\(V_a\)为晶体原胞的体积，假设一共离散了\(N\)个波矢态，于是每个离散波矢态的体积就是\(V_b / N\)，于是 \[ \kappa_x = \sum_p \int \hbar\omega \tau v_x^2 \frac{\hbar\omega}{k_bT^2}f_0 (f_0 + 1) \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^3} = \frac{1}{k_bT^2NV_a}\sum_p \sum_{i=1}^{N} (\hbar\omega)^2 f_0 (f_0 + 1) v_x^2 \tau \] 相当于 \[ \kappa_x = \sum_p\sum_{i=1}^N Cv_xl_x \] 其中 \[ C_i = \frac{(\hbar\omega)^2f_0(f_0 + 1)}{k_bT^2NV_a} \]

Isotropic Dispersion

假如我的晶体是各向同性的，也就是说我的布里渊区神奇的是一个球，当波矢大小一样的时候（即波矢分布在一个球面的时候），声子态的各个性质都是相同的，除了群速度方向，这时候就可以用球坐标积分推导出更简洁的一些结果，假设\(x\)方向是球坐标下天顶角的方向，此时\(v_x = v_g \cos\theta\)，于是有 \[ \begin{aligned} \kappa_x &= \sum_p \int \hbar\omega \tau v_x^2 \frac{\hbar\omega}{k_bT^2}f_0 (f_0 + 1) \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \\ &= \sum_p\int_0^{k_m} \int_0^\pi\int_0^{2\pi}\tau (v_g\cos\theta)^2 \frac{(\hbar\omega)^2}{k_bT^2}f_0 (f_0 + 1) \frac{1}{(2\pi)^3} k^2\sin\theta \mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta \mathrm{d}k \\ &= \sum_p\int_0^{k_m}\int_0^\pi\frac{(\hbar\omega)^2 f_0 (f_0 + 1)}{k_bT^2} \tau v_g^2 \frac{k^2}{4\pi^2}\cos^2\theta\sin\theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}k \\ &=\sum_p\int_0^{\omega_m}\int_{-1}^1 \frac{(\hbar\omega)^2 f_0 (f_0 + 1)}{k_bT^2}\tau v_g^2 \frac{k^2}{4\pi^2v_g}\mu^2 \mathrm{d}\mu \mathrm{d}\omega \\ &= \frac{1}{3}\sum_p \int_0^{\omega_m} \frac{(\hbar\omega)^2 f_0 (f_0 + 1)}{k_bT^2} \frac{k^2}{2\pi^2v_g} \tau v_g^2 \mathrm{d}\omega \\ \end{aligned} \] 相当于 \[ \kappa_x = \frac{1}{3}\sum_p \int_0^{\omega_m} C_\omega v_{g, \omega}l_\omega \mathrm{d}\omega \] 其中 \[ C_\omega = \frac{(\hbar\omega)^2 f_0 (f_0 + 1)}{k_bT^2} \frac{k^2}{2\pi^2v_g} \] 其中 \[ \frac{k^2}{2\pi^2v_g} = D(\omega) \] 定义为态密度。所以和上面比较一下就很清楚态密度这个概念是怎么来的了，它反映了量子态的能量简并。

Gray Approximation

在各向同性色散的基础上，我们进一步认为声子的性质沿频率是没有分布的，于是 \[ \kappa_x = \frac{1}{3}\sum_p \int_0^{\omega_m} C_\omega v_{g, \omega}l_\omega \mathrm{d}\omega = \frac{1}{3}Cv_gl \] 此时的\(C\)就是材料整体的比热容了。当然灰体近似的简单不代表它就比full dispersion差，只不过是侧重的问题不一样，像温伯格说的，

不同于基本粒子，由于宗教和占星术，行星似乎在历史上就很有趣。但是，正是行星运动的简单性让牛顿发现了运动规律和引力。作为一个很好的近似，这些行星在一个单一不动的客体—太阳的影响下，在空虚的空间中运动。通过研究湍流或雪花，牛顿永远不可能发现他的那些定律。

在寻找自然界的规律时，避开复杂性是科学艺术的本质。

《湖畔遐思》

在研究声子输运时，通过灰体近似和BTE才有可能推导某一个自由程的抑制函数，只有单模态下才能发现一些规律，之后再通过这些简单的单模态的结果，推广到考虑色散或者更复杂效应的情况，比如超哥和含灵师兄的一些工作。

Y.C. Hua, B.Y. Cao. Ballistic-diffusive heat conduction in multiply-constrained nanostructures. International Journal of Thermal Sciences, 2016, 101: 126-132