对流扩散方程和漂移扩散方程

半导体中载流子的运动方程和流动传热里的方程形式上都差不多，本质上都是守恒方程.

流动与传热中的控制方程

连续性方程、动量方程、能量方程、组分质量分数方程的通用形式可以写成： \[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho \phi)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\rho v_{j} \phi\right)=\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\Gamma_{\phi} \frac{\partial \phi}{\partial x_{j}}\right)+S_{\phi} \]

• \(\phi = v_i\)，动量方程
• \(\phi = h\)，能量方程
• \(\phi = Y_s\)，组分质量分数方程
• \(\phi = 1, S_\phi=0\)，连续性方程

重新整理一下后可以写成， \[ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}(\rho \phi) &= \nabla \cdot \mathbf{J_{\phi}} +S_{\phi} \\ \mathbf{J_\phi} &= \Gamma_{\phi} \nabla \phi -\rho \phi \mathbf{v} \end{aligned} \] 第一个方程表示 \[ 控制体内物理量的增加速率 = 进入控制体内的净流率 + 控制体内物理量的净产生速率 \] 第二个方程给出了各种作用引起的流量的表达式，对于上面讨论的这些物理量来说，存在对流和扩散两种驱动引起的两种通量，扩散通量等于扩散系数乘上浓度梯度，对流通量等于该量乘上速度. 上式被称为对流-扩散方程. 假如要求解温度场即能量方程，如果速度场给定了，那么直接求解能量对流-扩散方程 (即能量流守恒方程)就可以了. 如果速度场未知，那么还需要引入额外方程 (连续性方程和动量方程)来求解速度场.

载流子的控制方程

\[ \begin{aligned} \frac{\partial n}{\partial t} &= \frac{1}{q} \nabla \cdot \mathbf{J_n}+G-R \\ \frac{\mathbf{J}_{n}}{q} &= D_{n} \nabla n-n \mu_{n} \nabla \psi \\ \end{aligned} \]

这是电子的连续性方程，空穴的形式一样，上面这两个方程和上面流动传热中的控制方程的形式是基本一致的. 第一个方程是载流子的连续性方程，\(G\)和\(R\)分别代表载流子产生和复合率. 载流子的通量产生存在两种驱动，一种是扩散作用，扩散通量等于扩散系数乘上载流子浓度梯度. 另一种是漂移作用，即在电场的作用下载流子发生运动，\(\mu_n\)为迁移率，\(- \nabla \psi = \mathbf{E}\)为电势的梯度，即电压场. \(\nabla \psi\)的地位就相当于流动传热方程中的速度项，速度项未知，需要补充方程，电势分布也是一样. 在半导体中，这个补充的方程是泊松方程， \[ \nabla \cdot(\varepsilon \nabla \psi)= -\rho = -q\left(p-n+N_{D}-N_{A}\right) \] \(N_D\)和\(N_A\)分别是donor掺杂和acceptor掺杂的浓度. 我们知道散度代表流的净通量，势能的梯度代表力，因此泊松方程实际上描述了物理量源的分布. 对于存在内热源的导热过程也是一个泊松方程，此时左边括号里就变成了热导率与温度场的梯度，代表热流，热流的散度就是当地的热源强度. 当系统中不存在热源时，泊松方程就退化成了拉普拉斯方程. 对于静电学问题来说，电荷就相当于源，它引起的通量就是电场线，电场线的散度就是源项，即电荷密度. 补充了泊松方程后方程就齐全了，可以联立求解得到半导体内的电势分布和载流子分布了.