弹道-扩散处理法

“......惯性力在我们这个地球上还是很强的，阿辽沙。我渴望生活，所以我就生活着，尽管它是违反逻辑的。

尽管我不信宇宙间的秩序，然而我珍重到春天萌芽的带着滋浆的嫩叶，我珍重蔚蓝的天，珍重一些人，对于他们，你信不信，有时候你自己也不知道为什么会那样热爱，还珍重一些人类的业绩，对于这，你也许早就不再相信，但到底由于旧印象，还是要从心中产生敬意。

瞧，鱼羹端来了，你好好吃吧，这鱼羹很美，做得不错。

我想到欧洲去一趟，阿辽沙，我就从这里动身；我也知道我这不过是走向坟墓，只不过这是走向极其极其珍贵的坟墓，如此而已！

在那里躺着些珍贵的死人，每块碑石上都写着那过去的、灿烂的生命，那对于自己的业绩，自己的真理、自己的奋斗、自己的科学所抱的狂热的信仰。

我早就知道，我会匍匐在地，吻那些碑石，哭它们，但同时我的心里却深知这一切早已成为坟墓，仅仅不过是坟墓而已。

我哭泣并不是由于绝望，而只是因为能从自己的泪水中得到快乐，为自己的伤感所沉醉。

我爱春天带着滋浆的嫩叶，我爱蔚蓝的天，如此而已!

这不是理智，不是逻辑，这是出于心底、发自肺腑的爱，爱自己青春的活力。

……你多少明白一点我的这段谬论么，阿辽沙？明白不明白？”

伊凡忽然笑了。

“我太明白了，伊凡，渴望出于心底、发自肺腑的爱，——你这话说得好极了，我很高兴，你是这样地渴望生活。”

阿辽沙大声赞叹说。

“我以为，世界上大家都应该首先爱生活。”

“爱生活本身甚于爱它的意义，是这样么？”

“一定要这样。应该首先去爱，而不去管什么逻辑，象你刚才所说的那样，一定要首先不管它什么逻辑，那时候才能明了它的意义。

我早就想到这一点了。你爱生活，伊凡，这样你的事情就已经做了一半，得到了一半。

现在你应该努力你的后一半，那样你就得救了。”

---《卡拉马佐夫兄弟》陀思妥耶夫斯基

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弹道-扩散处理法

Chen G. Ballistic-diffusive heat-conduction equations[J]. Physical Review Letters, 2001, 86(11): 2297.

弛豫时间近似下的含有内热源的稳态声子玻尔兹曼方程可以写成 \[ \vec{v}\cdot \nabla_r f = - \frac{f - f_0}{\tau} + f_g \] 分布函数描述了相空间中某一点的粒子数密度，从下面这个图可以看到，我们可以把体系内某一点的\(f\)拆成弹道项\(f_b\)和扩散项\(f_m\)两部分，\(f_b\)是是从边界出发一路定向传播到这里的，在传播过程中，一部分声子会被散射走，因此\(f_b\)会经历一个衰减传播过程。\(f_m\)是从其他位置散射到这里来的，因此这部分声子分布是具有各向同性的。

弹道载流子

我们把源项也归类为弹道部分做贡献的源，这一部分的控制方程是 \[ f_b + \tau\vec{v}\cdot \nabla_r f_b = f_g\tau \] 这和我们之前推导的任意截面的导热过程中的方程是基本一样的，我们假设\(x, y, z\)是某个参数\(t\)的函数，并且存在 \[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v_x, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = v_y, \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = v_z, \] 于是控制方程可以写成 \[ f_b + \frac{\mathrm{d}f_b}{\mathrm{d}t} = f_g\tau \] 整理一下 \[ \mathrm{d}f_b = (-\frac{f_b}{\tau}+ f_g )\mathrm{d}t \] \(1/\tau\)就是散射率，\(f_b\)可以理解为某一位置某一传播方向的粒子数目。所以这个表达式的意思就是说，\(f_b\)在传播了\(\mathrm{d}t\)时间后粒子数目会发生变化，减少的速率就是当前数目的粒子乘上散射率，增加的速率就是源项。这个表达式可以得到下面的通解， \[ f_b = f_g\tau + C\exp(- \frac{t}{\tau}) \] 假如我们知道\(f_b\)反向延长线对应边界交点处的分布函数为\(f_w\)，我们令\(t=0\)时，\(f_b = f_w\)，于是可以得到 \[ C = -f_g\tau + f_w \] 于是 \[ f_b = f_g\tau \left[1 - \exp(- \frac{t}{\tau})\right] + f_w\exp(- \frac{t}{\tau}) \] 其中\(t\)就是从对应边界交点传播到当前位置所消耗的时间，要注意\(\vec{r}_w\)是和载流子的运动方向有关的 \[ t = \frac{|\vec{r} - \vec{r}_w|}{|\vec{v}|} \]

弹道项对局域热流的贡献就是 \[ \begin{aligned} \vec{q}_b &= \frac{1}{4\pi} \int_\omega \hbar\omega D(\omega)\mathrm{d}\omega\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^{\pi}f_b\vec{v}\sin\theta\mathrm{d}\theta \end{aligned} \]

扩散载流子

对于扩散部分，它的控制方程是 \[ \vec{v} \cdot \nabla_r f_m = - \frac{f_m - f_0}{\tau} \] 这一部分可以用扩散近似来处理，我们假设\(f_m\)可以写成 \[ f_m(\vec{r}, \vec{\Omega}) = f_0(\vec{r}) + \vec{f}_1(\vec{r})\cdot \vec{\Omega} \] 其中\(\vec{f}_1(\vec{r})\)的方向是确定的，另外\(\vec{\Omega}\)的方向就是\(\vec{v}\)的方向。这和之前哪里不一样呢？之前\(f_m\)和方向的依赖关系是不知道的，但现在相当于实现了空间依赖和速度空间依赖的解耦，对方向的依赖全部丢到\(\vec{f}_1\cdot \vec{\Omega}\)里面去了。这和我们在小温差近似下推导局域温度的表达式时，把温度从玻色-爱因斯坦分布中解耦出来，提出比热是一样的。代入到控制方程中，可以得到 \[ \vec{v}\cdot \nabla_r (f_0 + \vec{f}_1\cdot \vec{\Omega}) = - \frac{\vec{f}_1 \cdot \vec{\Omega}}{\tau} \] 我们假设分布函数偏离平衡态很小，忽略\(f_1\)部分对应的梯度，于是可以得到 \[ \vec{f}_1 \cdot \vec{\Omega}= - \tau v \nabla_r f_0 \cdot \vec{\Omega} \] 也就是 \[ \vec{f}_1 = -\tau v\nabla_r f_0 \] 得到 \[ f_m = f_0 - \tau\vec{v}\cdot \nabla_r f_0 \] 扩散项对局域热流的贡献为 \[ \vec{q}_{m} = \frac{1}{4\pi}\int_\omega \hbar\omega D(\omega) \mathrm{d}\omega\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^{\pi}f_m \vec{v}\mathrm{d}\theta \] 以\(x\)方向的分量为例， \[ \begin{aligned} q_{m,x} &= \frac{1}{4\pi} \int_\omega \hbar\omega D(\omega) \mathrm{d}\omega\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^{\pi} f_m v_x \sin\theta \mathrm{d}\theta \\ &= \frac{1}{4\pi} \int_\omega \hbar\omega D(\omega) \mathrm{d}\omega\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^{\pi} f_1 \cos\theta v \cos\theta \sin\theta \mathrm{d}\theta \\ &= - \frac{1}{4\pi} f_1 \int_\omega \hbar\omega D(\omega) v\mathrm{d}\omega\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_1^{-1} \mu^2 \mathrm{d}\mu \\ &=\frac{1}{3}f_1\int_\omega \hbar\omega D(\omega)v\mathrm{d}\omega \\ \end{aligned} \] 对于其他方向同理，于是我们可以得到 \[ \vec{q}_m = \frac{1}{3} \int_\omega \hbar\omega D(\omega)v \vec{f}_1\mathrm{d}\omega \] 代入 \[ \vec{f}_1 = -\tau v\nabla_r f_0 \] 我们可以得到 \[ \vec{q}_m =- \frac{1}{3}\int_\omega \hbar\omega D(\omega)v^2 \tau \nabla_r f_0\mathrm{d}\omega = - k \nabla T_m \] 其中\(T_m\)是扩散载流子对应的温度，在基于载流子的图像里，局域温度就只是局域能量的代名词 \[ u = u_m + u_b = C(T_m + T_b) \] 我们还要给出扩散载流子对应的边界条件，边界条件就是边界节点的分布函数额外满足的方程。在采用弹道-扩散处理法进行推导时，我们假设了从边界出发的载流子都是弹道性的，也就是说边界对扩散分量不做贡献，此时边界处的扩散热通量完全由扩散载流子自身的反射引起，这句话可以用数学语言表述成 \[ \vec{q}_m \cdot \vec{n}=- \int \hbar\omega D(\omega) \mathrm{d}\omega \int_{\hat{\Omega} \cdot \mathbf{n}<0} f_m \vec{v}\cdot \vec{n} \mathrm{d}\Omega \] 其中\(\vec{n}\)是边界的法向。我们以边界法向作为\(z\)轴的正方向建立球坐标系，于是可得到

\[ \vec{q}_m \cdot \vec{n} = - \frac{1}{4\pi} \int_\omega \hbar\omega D(\omega) \mathrm{d}\omega\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_{\pi/2}^{\pi} f_m v\cos\theta \sin\theta \mathrm{d}\theta \] 我们代入 \[ f_m =f_0 + \vec{f}_1\cdot \vec{\Omega} \] 其中平衡项的积分为 \[ \begin{aligned} & - \frac{1}{4\pi} \int_\omega \hbar\omega D(\omega) \mathrm{d}\omega\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_{\pi/2}^{\pi} f_0 v\cos\theta \sin\theta \mathrm{d}\theta \\ =& - \frac{1}{4}\int_\omega \hbar\omega D(\omega) f_0 v\mathrm{d}\omega \end{aligned} \] 一阶项的积分为 \[ -\frac{1}{4\pi} \int_\omega \hbar\omega D(\omega) \mathrm{d}\omega\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_{\pi/2}^{\pi} (\vec{f}_1\cdot \vec{\Omega}) (\vec{v}\cdot\vec{n}) \sin\theta \mathrm{d}\theta \] 由于 \[ \vec{\Omega} = (\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta), \vec{v}\cdot\vec{n} = v\cos\theta \] 我们先只观察\(z\)方向的分量，可以得到 \[ \begin{aligned} \vec{q}_{m, z, 1}\cdot \vec{n} &= -\frac{1}{2} \int_\omega \hbar\omega D(\omega) \mathrm{d}\omega\int_{\pi/2}^{\pi} (f_{1, z}\cos\theta) (v\cos\theta) \sin\theta \mathrm{d}\theta \\ &= \frac{1}{6}\int_\omega \hbar\omega D(\omega)f_{1,z} v\mathrm{d}\omega \end{aligned} \] 其他方向可以得到同样的表达式。于是， \[ \vec{q}_m \cdot \vec{n}= -\frac{1}{4}\int_\omega \hbar\omega D(\omega) f_0 v\mathrm{d}\omega + \frac{1}{6}\int_\omega \hbar\omega D(\omega)\vec{f_{1}}\cdot{n} v\mathrm{d}\omega \] 我们还知道 \[ \vec{q}_m = \frac{1}{3}\int_\omega \hbar\omega D(\omega)v \vec{f}_1\mathrm{d}\omega \] 于是整理可以得到 \[ \frac{1}{2}\vec{q}_m\cdot\vec{n} = - \frac{1}{4}\int_\omega \hbar\omega D(\omega) f_0 v\mathrm{d}\omega \] 我们知道扩散载流子对应的内能可以写成 \[ \begin{aligned} u_m &= \frac{1}{4\pi} \int_\omega \hbar\omega D(\omega) \mathrm{d}\omega\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^{\pi} f_m \sin\theta \mathrm{d}\theta \\ &= \frac{1}{4\pi} \int_\omega \hbar\omega D(\omega) \mathrm{d}\omega\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^{\pi} (f_0 + \vec{f}_1\cdot \vec{\Omega} ) \sin\theta \mathrm{d}\theta \\ \end{aligned} \] 其中平衡项为 \[ u_{m, 0}= \int_\omega \hbar\omega D(\omega)f_0\mathrm{d}\omega \] 非平衡项还是先观察\(z\)方向的分量，可以得到 \[ \begin{aligned} u_{m, 1, z} &= \frac{1}{4\pi} \int_\omega \hbar\omega D(\omega) \mathrm{d}\omega\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^{\pi} (\vec{f}_1\cdot \vec{\Omega} ) \sin\theta \mathrm{d}\theta \\ &= \frac{1}{2} \int_\omega \hbar\omega D(\omega) \int_0^{\pi} {f}_{1, z} \cos\theta \sin\theta \mathrm{d}\theta \\ &= 0 \end{aligned} \]

于是可以得到 \[ u_m = u_{m, 0} = \int_\omega \hbar\omega D(\omega)f_0\mathrm{d}\omega \] 结合我们整理得到的边界条件，可以得到 \[ \frac{1}{2}\vec{q}_m\cdot\vec{n} = -\frac{1}{4}\int_\omega \hbar\omega D(\omega) f_0 v\mathrm{d}\omega = -\frac{1}{4}u_m v \] 这里要注意，一旦我们把\(v\)单独提出来了，实际上就已经用了灰体近似，在Gang Chen老师的文章或书里，就是说用到了动理学关系。代入\(q_m\)的表达式，可以得到 \[ T_m = \frac{2v\tau}{3} \nabla T_m \cdot \vec{n} \]

弹道扩散方程

我们已经建立了弹道载流子和扩散载流子的控制方程，其中边界条件对于弹道载流子是我们知道并且要给出的，扩散载流子的边界条件我们也同样进行了推导。现在如何把这类载流子联系到一起呢？我们需要用到能量守恒方程，局域热流通量等于源生成项，可以得到 \[ \nabla\cdot \vec{q} = \dot{S} \] 其中 \[ \begin{aligned} \vec{q} &= \vec{q}_m + \vec{q}_b \\ \dot{S} &= 4\pi \int_\omega \hbar\omega \frac{D(\omega)}{4\pi} f_g \mathrm{d}\omega = \int_\omega \hbar\omega D(\omega) f_g \mathrm{d}\omega \end{aligned} \] 我们要清楚在动量空间积分中出现的\(4\pi\)，并不是由坐标转换引起的，而是因为量子态在动量空间中占据的体积导致的。

于是稳态含内热源下的弹道-扩散导热方程可以整理成 \[ - \nabla\cdot (k\nabla T_m) + \nabla\cdot \vec{q}_b = \dot{S} \] ## 一维导热问题

Hua Y C, Cao B Y. The effective thermal conductivity of ballistic–diffusive heat conduction in nanostructures with internal heat source[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2016, 92: 995-1003.

考虑下方这个一微导热问题，薄膜内有均匀内热源，薄膜两侧为黑体热沉，我们采用弹道-扩散处理法来推导这个结构的温度分布。

声子玻尔兹曼方程可以写成 \[ v\mu \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{f - f_0}{\tau} + \dot{S}_\Omega \] 我们把分布函数\(f\)分成源引起项\(f_s\)和扩散项\(f_d\)， \[ f = f_s + f_d \] 源引起项的控制方程为 \[ v \mu \tau\frac{\partial f_s}{\partial x} + f_s= \tau\dot{S}_\Omega \] 我们在上面推出了这个方程的解，我们还知道由于两侧是热沉，\(f_w\)认为为0，于是 \[ f_b = \dot{S}_\Omega\tau \left[1 - \exp(- \frac{t}{\tau})\right] \] 其中\(t\)就是从对应边界交点传播到当前位置所消耗的时间， \[ t = \frac{|\vec{r} - \vec{r}_w|}{|\vec{v}|} \]

对于当前这个一维问题，假设我们以左侧薄膜为\(x\)轴的零点，并以此建立球坐标系，那么 \[ \begin{aligned} t &= \frac{x}{v\mu}, 0\leq \mu \leq 1\\ t &= \frac{L_x - x}{v\mu}, -1\leq \mu \leq 0 \end{aligned} \] 这个表达式在后面计算热流和局域能量的时候，可能会涉及到积分约不掉不好看的情况，于是Hua采用了双通量近似方法（Two-Flux Approximation Method）把源引起项的控制方程改写为 \[ \begin{aligned} -\frac{1}{2} l_0 \frac{\partial f_s^{-}}{\partial x} & =\tau \dot{S}_{\Omega}-f_s^{-},-1<\mu<0 \\ \frac{1}{2} l_0 \frac{\partial f_s^{+}}{\partial x} & =\tau \dot{S}_{\Omega}-f_s^{+}, 0<\mu<+1 \end{aligned} \] 主要的区别就是把角度依赖的\(\mu\)用一个平均的\(1/2\)来替代，最后得到的解也就是把\(\mu\)部分替换成\(1/2\)，于是可以得到 \[ \begin{aligned} & f_s^{+}(x)=\tau \dot{S}_{\Omega}\left[1-\exp \left(-2 \frac{x}{l_0}\right)\right] \\ & f_s^{-}(x)=\tau \dot{S}_{\Omega}\left[1-\exp \left(-2 \frac{L_x-x}{l_0}\right)\right] \end{aligned} \] 于是我们可以得到弹道项对应的热流和局域能量了 \[ \begin{aligned} G_s &= \frac{1}{4\pi}\int_\omega \hbar\omega D(\omega)\mathrm{d}\omega \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^{\pi}\sin\theta f_s\mathrm{d}\theta \\ &= \frac{1}{2}\int_\omega \hbar\omega D(\omega)\mathrm{d}\omega \int_{-1}^{1} f_s\mathrm{d}\mu \\ &= \frac{1}{2} \int_\omega \hbar\omega D(\omega)\tau \dot{S}_\Omega\mathrm{d}\omega \left[2 - \exp(-2\frac{L_x - x}{l_0}) - \exp(-2 \frac{x}{l_0})\right] \\ &= \frac{l_0}{2 v} \dot{S} \left[2 - \exp(-2\frac{L_x - x}{l_0}) - \exp(-2 \frac{x}{l_0})\right] \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} q_{s} &= \frac{1}{4\pi}\int_\omega \hbar\omega D(\omega) \mathrm{d}\omega \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^{\pi} v\cos\theta\sin\theta f_s \mathrm{d}\theta \\ &= \frac{1}{4}\int_\omega \hbar\omega D(\omega) \mathrm{d}\omega \int_{-1}^{1} v f_s \mathrm{d}\mu^2\\ &= \frac{v}{4}\int_\omega \hbar\omega D(\omega)\tau \dot{S}_\Omega \mathrm{d}\omega \left[\exp(-2\frac{L_x - x}{l_0}) - \exp(-2 \frac{x}{l_0})\right] \\ &= \frac{l_0}{4} \dot{S} \left[\exp(-2\frac{L_x - x}{l_0}) - \exp(-2 \frac{x}{l_0})\right] \\ \end{aligned} \]

其中 \[ \dot{S} = 4\pi \int_\omega \hbar\omega\frac{D(\omega)}{4\pi}\dot{S}_\Omega \mathrm{d}\omega = \int_\omega \hbar\omega D(\omega)\dot{S}_\Omega \mathrm{d}\omega \]

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扩散项的控制方程为 \[ v\mu \frac{\partial f_d}{\partial x} = \frac{f_d - f_0}{\tau} \] 和前面一样，我们可以得到扩散项对应的热流和局域能量的表达式 \[ G_d = \frac{1}{4\pi}\int_\omega \hbar\omega D(\omega)\mathrm{d}\omega \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^{\pi} f_d\sin\theta\mathrm{d}\theta \]

\[ q_d = - \frac{1}{3}l_0 v\frac{\partial G_d}{\partial x} \]

同时我们还有边界条件 \[ \begin{aligned} G_d(0) &= -2 q_d(0)\\ G_d(L_x) &= 2 q_d(L_x) \end{aligned} \] 根据能量守恒，可以得到 \[ \nabla \cdot \vec{q} = \frac{\partial q}{\partial x} = \frac{\partial q_s}{\partial x} - \frac{1}{3} l_0v \frac{\partial^2 G_d}{\partial x^2} = \dot{S} \] 其中 \[ \begin{aligned} \frac{\partial q_s}{\partial x} &= \frac{l_0}{4} \dot{S} \frac{\partial \left[\exp(-2\frac{L_x - x}{l_0}) - \exp(-2 \frac{x}{l_0})\right]}{\partial x} \\ &= \frac{l_0}{4}\dot{S}\left[\frac{2}{l_0}\exp(-2 \frac{L_x - x}{l_0}) + \frac{2}{l_0}\exp(-2\frac{x}{l_0})\right] \\ &= \frac{1}{2}\dot{S}\left[\exp(-2 \frac{L_x - x}{l_0}) + \exp(-2\frac{x}{l_0})\right] \end{aligned} \] 于是 \[ - \frac{1}{3} l_0v \frac{\partial^2 G_d}{\partial x^2} = \dot{S} - \frac{1}{2}\dot{S}\left[\exp(-2 \frac{L_x - x}{l_0}) + \exp(-2\frac{x}{l_0})\right] \] 于是得到 \[ \frac{\partial^2 G_d}{\partial x^2} = - \frac{3\dot{S}}{l_0v} + \frac{3}{2 l_0v}\dot{S}\left[\exp(-2 \frac{L_x - x}{l_0}) + \exp(-2\frac{x}{l_0})\right] \]

做一次积分 \[ \begin{aligned} \frac{\partial G_d}{\partial x} &= \frac{3}{4 v}\dot{S}\left[\exp(-2 \frac{L_x - x}{l_0}) - \exp(-2 \frac{x}{l_0})\right] - \frac{3\dot{S}}{l_0v}x + C_1 \end{aligned} \]

做两次积分 \[ \begin{aligned} G_d &= \frac{3l_0}{8 v}\dot{S}\left[\exp(-2 \frac{L_x - x}{l_0}) + \exp(-2 \frac{x}{l_0})\right] - \frac{3\dot{S}}{2l_0v}x^2 + C_1x + C_2 \end{aligned} \] 已知 \[ q_d = - \frac{1}{3}l_0 v\frac{\partial G_d}{\partial x} \] 代入边界条件（Hua从这里开始量纲不小心写错了） \[ \begin{aligned} G_d(0) &= -2 q_d(0) / v\\ G_d(L_x) v &= 2 q_d(L_x) / v \end{aligned} \] 得到 \[ \begin{aligned} &\frac{3l_0}{8 v}\dot{S} \left[\exp(-2\frac{L_x}{l_0}) + 1\right] + C_2 = \frac{l_0}{2 v } \dot{S}\left[\exp(-2\frac{L_x}{l_0}) - 1\right] + \frac{2l_0}{3}C_1 \\ &\frac{3l_0}{8 v}\dot{S} \left[1 + \exp(-2 \frac{L_x}{l_0})\right] - \frac{3\dot{S}}{2l_0v}L_x^2 + C_1L_x + C_2 = -\frac{l_0}{2 v}\dot{S} \left[1 - \exp(-2 \frac{L_x}{l_0})\right] + \frac{2\dot{S}L_x}{v} - \frac{2l_0 }{3} C_1 \end{aligned} \] 解得 \[ \begin{aligned} C_1 &= \frac{3\dot{S}L_x}{2l_0 v}\\ C_2 &= - \frac{7l_0}{8 v}\dot{S} + \frac{l_0}{8 v}\exp(-2 \frac{L_x}{l_0}) \dot{S} +\frac{ L_x \dot{S}}{v} \end{aligned} \] 将\(C_1\)和\(C_2\)的值代入到\(G_d\)的表达式中，我们得到： \[ G_d(x) = \frac{3 l_0}{8 v} \left[ \exp\left(-2 \frac{L_x - x}{l_0}\right) + \exp\left(-2 \frac{x}{l_0}\right) \right] \dot{S} + \frac{l_0}{8 v}\exp(-\frac{2 L_x}{l_0})\dot{S} - \frac{7 l_0}{8 v}\dot{S} + \frac{3 \dot{S}}{2 l_0 v}(L_x - x)x +\frac{ L_x \dot{S}}{v} \] 我们把弹道项和扩散项合并到一起，就得到了薄膜内部的能量分布， \[ \begin{aligned} G &= G_d + G_s \\ &= \frac{3 l_0}{8 v} \left[ \exp\left(-2 \frac{L_x - x}{l_0}\right) + \exp\left(-2 \frac{x}{l_0}\right) \right] \dot{S} + \frac{l_0}{8 v}\exp(-\frac{2 L_x}{l_0})\dot{S} - \frac{7 l_0}{8 v}\dot{S} + \frac{3 \dot{S}}{2 l_0v}(L_x - x)x + \frac{L_x \dot{S}}{v}\\ &+\frac{l_0}{2 v } \dot{S} \left[2 - \exp(-2\frac{L_x - x}{l_0}) - \exp(-2 \frac{x}{l_0})\right] \\ &= \frac{L_x \dot{S}}{v} + \frac{l_0 \dot{S}}{8 v} + \frac{l_0 \dot{S}}{8 v}\exp(-\frac{2 L_x}{l_0}) - \frac{l_0 \dot{S}}{8 v}\exp(-\frac{2 (L_x - x)}{l_0})- \frac{l_0 \dot{S}}{8 v}\exp(-\frac{2 x}{l_0}) + \frac{3 L_x \dot{S} x}{2 l_0 v} - \frac{3 \dot{S} x^2}{2 l_0 v} \\ &=\dot{S}\tau\left\{ - \frac{1}{8}\left[\exp(-\frac{2 (L_x - x)}{l_0})+\exp(-\frac{2 x}{l_0}) \right] + \frac{1}{8}\left[1 + \exp(-2 \frac{L_x}{l_0})\right] + \frac{3}{2}(L_x - x)x + \frac{L_x}{l} \right\} \end{aligned} \] 运用灰体假设 \[ G = C\Delta T, k_\text{bulk} = \frac{1}{3}Cvl_0 \] 并且我们用\(\dot{S}L_x^2 / 8k_\text{bulk}\)做无量纲化，可以得到 \[ \begin{aligned} T^* &= \frac{\Delta T}{\dot{S}L_x^2/8k_\text{bulk}}\\ &= \frac{G/C}{3\dot{S}L_x^2/(8Cvl_0)}\\ &= \frac{8Gvl_0}{3\dot{S}L_x^2} \\ &= \frac{l_0^2}{L_x^2}\left\{ - \frac{1}{3}\left[\exp(-\frac{2 (L_x - x)}{l_0})+\exp(-\frac{2 x}{l_0}) \right] + \frac{1}{3}\left[1 + \exp(-2 \frac{L_x}{l_0})\right] + 4(L_x - x)x + \frac{8}{3}\frac{L_x}{l} \right\} \\ &= 4(1-\eta)\eta + \frac{8}{3}Kn_x - \frac{Kn_x^2}{3}\left[\exp(-\frac{2 (1 - \eta)}{Kn_x})+\exp(-\frac{2 \eta}{Kn_x}) \right] + \frac{Kn_x^2}{3}\left[1 + \exp(-\frac{2}{Kn_x})\right] \end{aligned} \] 我们可以对比一下基于傅里叶定律给出的解 \[ - k \frac{\mathrm{d}T^2}{\mathrm{d}x^2} = \dot{S} \] 于是解得 \[ T = -\frac{\dot{S}x^2}{2k} + C_1x + C_2 \] 代入边界条件 \[ T(0) = 0, T(L_x) = 0 \] 得到 \[ C_1 = \frac{L_xx}{2k}, C_2 = 0 \] 于是得到 \[ T = \frac{\dot{S}}{2k}(L_x - x)x \] 我们用\(\dot{S}L_x^2 / 8k_\text{bulk}\)做无量纲化，可以得到 \[ T^* = 4(1-\eta)\eta \] 这只是用玻尔兹曼方程推导出来的零阶项。在这种情况下，Hua等人推荐用热源平均温度\(\bar{T}\)来定义薄膜的等效热导率， \[ k = \frac{L_x^2\dot{S}}{12\bar{T}} \] 对于傅里叶导热定律的情况，得到的结果就是体材料热导率。对于玻尔兹曼方程给出的结果，我们可以整理得到 \[ \frac{k_{I_{-f i l m \_c r}}}{k_{\text {bulk }}}=\frac{1}{1+4 K n_x+\frac{K n_x^2}{2}\left[1+\exp \left(-\frac{2}{K n_x}\right)\right]+\frac{K n_x^3}{2}\left[\exp \left(-\frac{2}{K n_x}\right)-1\right]} \] 对比两侧黑体温差加热的情况 \[ \frac{k}{k_\text{bulk}} = \frac{1}{1 + \frac{4}{3}Kn_x} \] 有理由认为内热源加热引起了更强的声子弹道输运，这可以理解为从内部发射时，声子的自由程变短了。