扩展热阻(1)-矩形通道偏心热源的扩展热阻模型
矩形偏心热源的扩展热阻模型
Muzychka Y S, Culham J R, Yovanovich M M. Thermal spreading resistance of eccentric heat sources on rectangular flux channels[J]. J. Electron. Packag., 2003, 125(2): 178-185.
扩展热阻
当高温热源和低温热沉面积相等时,此时温度场呈一维线性分布,此时的热阻为:

当热量从一个面积较小的热点流向宽阔区域时,此时热流线分布不再是一维的,在靠近热点的区域内,热量流线有横线传播的部分,此时温度分布是多维的;在远离热点的区域内,热流量流线基本上又变成均匀的,温度分布又近似变成一维的。这种情况下,体系的总热阻会大于一维热阻,热阻多出来的部分被称之为扩展热阻。因此,总热阻可以认为由一维热阻和扩展热阻两部分组成:
在电子器件的总热阻中,扩展热阻占了绝大部分。
问题陈述
考虑下面这个问题:

系统的控制方程为拉普拉斯方程:
通解
首先采用分离变量法求拉普拉斯方程通解,拉普拉斯方程的一般形式为:

$$ 特征根取的值不同,微分方程通解的形式也会有所不同
时得到的解无意义。λ<0,orσ<0 当
时,通解的表达式为:λ>0,σ>0
代入边界条件:
- 当
,此时m=0,n≠0 :β=σ
代入边界条件:
- 当
时,此时m≠0,n=0 ,和上面同理,此时:β=λ
- 当
时,m=0,n=0 ,此时:β=0
代入边界条件:
其中
于是
$$
对比
对照一下通解中的系数:
其中
于是,
线性部分的解为: