扩展热阻(1)-矩形通道偏心热源的扩展热阻模型

矩形偏心热源的扩展热阻模型

Muzychka Y S, Culham J R, Yovanovich M M. Thermal spreading resistance of eccentric heat sources on rectangular flux channels[J]. J. Electron. Packag., 2003, 125(2): 178-185.

扩展热阻

当高温热源和低温热沉面积相等时,此时温度场呈一维线性分布,此时的热阻为: R1D=ThTcQQ=kAThTcΔx

于是 R1D=ΔxkA
两界面间的一维热阻只取决于层厚度、层间热导率以及层面积。

当热量从一个面积较小的热点流向宽阔区域时,此时热流线分布不再是一维的,在靠近热点的区域内,热量流线有横线传播的部分,此时温度分布是多维的;在远离热点的区域内,热流量流线基本上又变成均匀的,温度分布又近似变成一维的。这种情况下,体系的总热阻会大于一维热阻,热阻多出来的部分被称之为扩展热阻。因此,总热阻可以认为由一维热阻和扩展热阻两部分组成: Rt=R1D+Rs

其中一维热阻可以用热流、热源平面的平均温度(Tz=0)和远离热源的热沉温度(Tz)来定义: R1D=Tz=0TzQ
总热阻可以用热源平均温度(Ts)来定义: Rt=TsTzQ
于是扩展热阻的一般定义式为: Rs=RtR1D=TsTz=0Q

在电子器件的总热阻中,扩展热阻占了绝大部分。

问题陈述

考虑下面这个问题:

系统的控制方程为拉普拉斯方程: 2T=2Tx2+2Ty2+2Tz2=0

在顶部存在热源的区域,满足等热流边界条件: Tz|z=0=(Q/As)k1
其中As=cd,在热源区域外,满足: Tz|z=0=0
底部满足对流换热边界条件: Tz|z=t1=hk1[T(x,y,t1)Tf]
侧边界为绝热边界条件: Tx|x=0,a=0Ty|y=0,b=0

通解

首先采用分离变量法求拉普拉斯方程通解,拉普拉斯方程的一般形式为: 2T=2Tx2+2Ty2+2Tz2=0

假设通解的形式为: θ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)=T(x,y,z)Tf
代入控制方程后,可以得到: 2T=2Tx2+2Ty2+2Tz2=Y(y)Z(z)2Xx2+X(x)Z(z)2Yy2+X(x)Y(y)2Zz2=1X2Xx2+1Y2Yy2+1Z2Zz2=0
即: 1Z2Zz2=1Y2Yy2+1X2Xx2
式子左边是z的函数,式子右边分别是xy的函数,可以假设: 1Z2Zz2=λ2+δ21X2Xx2=λ21Y2Yy2=δ2
这是二阶常系数线性常微分方程的标准形式,

于是Z,X,Y的特征方程的特征方程分别为: Z2(λ2+δ2)=0X2+λ2=0Y2+δ2=0
特征根分别为: $$ Z:±4(λ2+δ2)2=±λ2+δ2=±βX:±4λ22=±iλY:±4δ22=±iδ

$$ 特征根取的值不同,微分方程通解的形式也会有所不同

  1. λ<0,orσ<0时得到的解无意义。

  2. λ>0,σ>0时,通解的表达式为:

X=C0sin(λx)+C1cos(λx)Y=C2sin(δy)+C3cos(δy)Z=C4eβz+C5eβz

代入边界条件:

x=0,x=a时满足 Xx=λ(C0cos(λx)C1sin(λx))=0

于是: X=C1cos(λx),λ=mπ/a,m=1,2,

y=0,y=b时满足 Yy=λ(C2cos(δy)C3sin(δy))=0

于是: Y=C3cos(δy),δ=nπ/b,n=1,2,Z=C4eβz+C5eβz

  1. m=0,n0,此时β=σ

X=C0+C1xY=C2sin(δy)+C3cos(δy)Z=C4eβz+C5eβz

代入边界条件:

x=0,x=a时满足 Xx=C1=0

于是: X=C0

y=0,y=b时满足 Yy=λ(C2cos(δy)C3sin(δy))=0

于是: Y=C3cos(δny),δ=nπ/b,n=1,2,Z=C4eβz+C5eβz

  1. m0,n=0时,此时β=λ,和上面同理,此时:

Y=C3X=C1cos(λx),λ=mπ/b,m=1,2,Z=C4eβz+C5eβz

  1. m=0,n=0时,β=0,此时:

X=C0+C1xY=C2+C3yZ=C4+C5z

代入边界条件: X=C0Y=C2Z=C4+C5z

根据叠加原理,可以得到方程的通解为: θ(x,y,z)=A0+B0z+m=1cos(λx)[A1cosh(λz)+B1sinh(λz)]+n=1cos(δy)[A2cosh(δz)+B2sinh(δz)]+m=1n=1cos(λx)cos(δy)[A3cosh(βz)+B3sinh(βz)]

其中λ=mπ/a,σ=nπ/b,β=λ2+σ2,双曲函数coshsinh是两项指数相加的另一种表示形式, sinh(x)=exex2cosh(x)=ex+ex2

通解由四部分组成,第一部分是线性部分的贡献,剩下三项是扩展部分的贡献,当z=0平面的热流均匀分布时,扩展部分的三项会消失。之后通过代入z平面的边界条件,可以解出各个系数的具体表达式。由于通解是线性叠加出来的,因此各个子项都应满足边界条件。代入热沉平面z=t1的边界条件: θz|z=t1=hk1θ|z=t1

[A3sinh(βz)+B3cosh(βz)]β=hk1[A3cosh(βz)+B3sinh(βz)]

于是BiAi的关系可以整理为: Bi=ϕ(ζ)Ai,i=1,2,3,

其中: ϕ(ζ)=ζsinh(ζt1)+h/k1cosh(ζt1)ζcosh(ζt1)+h/k1sinh(ζt1)
其中ζ分别代表λ,σ,β

对于理想热沉,底边界为等温边界条件,h+,此时ϕ(ζ)退化为 ϕ(ζ)|h+=coth(ζt1)
最终通解中的系数可以通过对热源平面的边界条件做傅里叶展开得到,先求温度梯度表达式: θ(x,y,z)z=B0+λm=1cos(λx)[A1sinh(λz)+B1cosh(λz)]+σn=1cos(δy)[A2sinh(δz)+B2cosh(δz)]+βm=1n=1cos(λx)cos(δy)[A3sinh(βz)+B3cosh(βz)]
于是 θ(x,y,z)z|z=0=B0+λm=1cos(λx)B1+σn=1cos(δy)B2+βm=1n=1cos(λx)cos(δy)B3
边界条件f(x,y)为: f(x,y)={Tz=(Q/cd)k1,Xcc2<x<Xc+c2,Ycd2<y<Yc+d2Tz=0,others
作二维非周期傅里叶级数展开: $$ f(x,y)=n=0m=0[cmnsin(mπxa)sin(nπyb)+dmncos(mπxa)cos(nπyb)]=d00+m=1dm0cos(mπxa)+n=1d0ncos(nπyb)+m,n=1[cmnsin(mπxa)sin(nπyb)+dmncos(mπxa)cos(nπyb)]

$$

cmn=κabb0a0f(x,y)sinmπxasinnπybdxdydmn=κabb0a0f(x,y)cosmπxacosnπybdxdy

 Where κ=1 if n=0 and m=0=2 if n=0 or m=0=4 if n>0 and m>0

对比θ(x,y,z)z|z=0中的各系数,得到: B0=Qabk1

B1=dm0/λ=2abλb0a0f(x,y)cosmπxadxdy=2(Q/cd)abλk1Xc+c2Xcc2Yc+d2Ycd2cos(λx)dxdy=2Qabcλk1Xc+c2Xcc2cos(λx)dx=2Qλ2abck1[sin(λ(Xcc/2))sin(λ(Xc+c/2))]

B2=d0n/σ=2abσb0a0f(x,y)cosnπybdxdy=2(Q/cd)abσk1Xc+c2Xcc2Yc+d2Ycd2cos(σy)dxdy=2Qabdσk1Yc+d2Ycd2cos(σy)dy=2Qσ2abdk1[sin(σ(Ycd/2))sin(σ(Yc+d/2))]

B3=dmn/β=4abβb0a0f(x,y)cosmπxacosnπybdxdy=4(Q/cd)abβk1Xc+c2Xcc2Yc+d2Ycd2cos(λx)cos(σy)dxdy=16Qcos(λXc)sin(12λc)cos(δYc)sin(12δd)abcdk1βλδ

对照一下通解中的系数: θ(x,y,z)=A0+B0z+m=1cos(λx)[A1cosh(λz)+B1sinh(λz)]+n=1cos(δy)[A2cosh(δz)+B2sinh(δz)]+m=1n=1cos(λx)cos(δy)[A3cosh(βz)+B3sinh(βz)]

其中, Bi=ϕ(ζ)Ai,i=1,2,3

ϕ(ζ)=ζsinh(ζt1)+h/k1cosh(ζt1)ζcosh(ζt1)+h/k1sinh(ζt1)

其中ζ分别代表λ,σ,β

于是, A1=4Qcos(λmXc)sin(λm(c/2))abck1λ2mϕ(λm)

A2=4Qcos(δnYc)sin(δn(d/2))abdk1δ2nϕ(δn)

A3=16Qcos(λmXc)sin((1/2)λmc)cos(δnYc)sin((1/2)δnd)abcdk1βmnλmδnϕ(βmn)

线性部分的解为: A0=Qab(t1k1+1h)

热源平面的温度分布为: θ(x,y,0)=A0+m=1A1cos(λmx)+n=1A2cos(δny)+m=1n=1A3cos(λmx)cos(δny)
通过对热源区域积分,可以得到: ˉθs=1cdXc+c2Xcc2Yc+d2Ycd2θ(x,y,0)dxdy=¯θ1D+2m=1A1cos(λmXc)sin((1/2)λmc)λmc+2n=1A2cos(δnYc)sin((1/2)δnd)δnd+4m=1n=1A3cos(δnYc)sin((1/2)δnd)cos(λmXc)sin((1/2)λmc)λmcδnd
其中 ˉθ1D=Qab(t1k1+1h)
总热阻的表达式为: Rt=¯θsQ=R1D+Rs
一维热阻的表达式为: R1D=1ab(t1k1+1hs)
扩展热阻 Rs=2Qm=1Amcos(λmXc)sin((1/2)λmc)λmc+2Qn=1Ancos(δnYc)sin((1/2)δnd)δnd+4Qm=1n=1Amncos(δnYc)sin((1/2)δnd)cos(λmXc)sin((1/2)λmc)λmcδnd