电子和声子

基本图像

要描述一个波，本质上就是描述它的频率-波矢关系 \[ \hbar\omega = E, \hbar k = p \] 根据德布罗意关系，粒子也是一种波。波粒二象性对应着我们描述一个波或粒子的两套空间，当描述粒子性时，我们采用正空间描述距离空间中粒子的分布情况；当描述波动性时，我们采用倒空间描述这个波的色散，波动性体现的色散对应着粒子的振动模式的分布情况. 描述对应波的频率和波矢关系，就等价于描述粒子的能量-动量关系.

由于群速度是能量输运的速度，而\(v_g = \partial \omega /\partial k\)，有了色散关系，我们也知道了处于不同状态下的粒子的能量输运速度. 实际上色散这个词本身就起源于波传播速度的频率依赖性，当不同频率的波的传播速度都一样时，此时相速度和群速度相等，波包在介质中传播时的形状不会发生改变；当不同频率的波的传播速度不同时，波包在传播过程中会逐渐扩散掉，也就是所谓的色散. 可以说一旦我们清楚了波的色散关系，我们就掌握了这个波的所有性质. 对于声子，色散关系就是我们很熟悉的\(\omega\)和\(k\)的关系. 对于电子，能带结构就相当于色散关系. 所以对于声子色散和电子能带的描述，分别构成了声子性质和电子性质描述的基础.

色散关系描述了能量和动量之间的依赖关系，但没有给出能量的分布信息。在描述能量的分布时，用粒子的观点会清晰很多。我们认为粒子存在着很多能态，对应波的不同频率，粒子可能分布在不同的态上。这些态的数量随能量的分布，就叫作态密度， \[ D(E) = N(E + \mathrm{d}E) - N(E ) \] 注意态密度描述的是态随能量的分布，描述的是能量的简并性，并不是某个态上分布着多少个粒子。粒子在某个态上分布的数量，在平衡态下是由玻色-爱因斯坦或者费米-狄拉克分布给出的。根据量子力学，在能量准连续的条件下，一个量子态在相空间占据\(h^r\)的体积。能量相等的量子态在相空间中构成了一个曲面， \[ H(q_1, q_2, q_3, r_1, r_2, r_3) = \epsilon \] 因此态密度就是\(\epsilon\)和\(\epsilon + \mathrm{d}\epsilon\)的能量曲面间包含的量子态数目， \[ g(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon = \frac{\Omega(\epsilon+\mathrm{d}\epsilon) - \Omega(\epsilon)}{h^r}J \] 对于输运过程，玻尔兹曼方程描述了大量粒子的分布函数的变化情况，分别从分子、声子、电子的玻尔兹曼方程出发，我们可以分析不同的输运过程，包括动量输运的粘度，热量输运的热导率，以及电输运的电导率等.

色散关系

声子的色散关系

声子上是晶格振动声波的量子化，因此根据振动情况的不同，我们可以将声子分成不同的声子支来描述其色散. 比如对于轴向振动产生的声子我们将其称为longitudinal (L)支，对于垂直于轴向，存在两个方向的自由度，我们将其称为Transverse (T)支. 当然，对于很多实际的结构，比如GaN，它的一个原胞内存在多个原子，这种振动模式就更为复杂，因此也就存在多支的色散曲线.

根据原子的振动情况，我们可以把声子分为光学声子和声学声子. 声学模式描述了基元内各个原子相对位置不变，结构基元发生整体平移振动的情况，因此无论对于什么结构，声学支一共就只有3个. 如果晶体中含有N个原胞，那么每一支振动的自由度就有N个，因此晶体振动的声学模式共有\(3N\)个，包括\(N\)个纵声学支的声学模式和\(2N\)个横声学支的声学模式. 光学模式描述了原胞内各原子发生相对振动的情况，如果原胞中有\(n\)个原子，那么晶体的光学支就有\(3(n-1)\)个，每一支光学支也有\(N\)个模式. 在声子热输运过程的研究中，光学声子一般都被忽略，因为他们的群速度几乎为0，因此不会对热导率产生什么贡献。然而在瞬态输运过程中，由于光学声子有比热，虽然他们本身不会输运热量，但会起到热容的作用而影响输运过程。

对于一个声子支，只要知道了它的色散关系，我们就得到了它的所有信息。色散关系可以通过实验、第一性计算以及色散模型等方式来描述。对于声学支，可以用包括德拜模型在内的多种模型来描述；对于光学支，由于其色散很小，因此一般可以用Einstein模型来描述，即假定所有声子具有相同的频率。计算晶体的宏观性质时，要考虑所有声子支、所有模式贡献之和。对于常见的色散模型，可以参考从声子色散到热导率。

上面这种色散曲线是沿着一个晶向的，比如[1 0 0]方向，在晶体的各向同性比较好时，我们就可以用某一个方向的色散来近似代替不同方向的色散. 对于各向同性不是太好的晶体，我们经常在布里渊区选取几个高对称点围成的一个高对称区域，来描述声子的色散。对于不同晶系，其晶格的对称性不同，布里渊区不同，所选取的高对称点也不相同.

比如下面这张图是道胜师兄算过的闪锌矿GaN沿着不同高对称点的色散曲线，从这张二维图的最左侧的\(\Gamma\)点一直推到最右侧的\(K\)点，实际上在第一布里渊区画出了一条连续的三维轨迹，布里渊区的概念，实际上就是用来在倒空间描述色散关系的.

图上面的部分是光学支，下面是声学支. 可以很明显地看到光学支的频率要高于声学支，因此光学声子的能量要高出很多，他们贡献了比热容的绝大部分. 而由于群速度为频率对波矢的导数，光学支分布较为平缓，因此光学声子的群速度很小. 从声子热导率公式可以看出来， \[ k = \sum_p \int_0^{\omega_m}\frac{1}{3}C_\omega v_{\omega}^2\tau_\omega \mathrm{d}\omega \] 它们基本不对稳态传热过程造成什么贡献.

电子的色散关系

一维阱中的电子色散

求解电子薛定谔方程： \[ \frac{\mathrm{d}^{2} \psi(x)}{\mathrm{d} x^{2}}+\frac{2 m_{0}}{\hbar^{2}}[E-U_0] \psi(x)=0 \] 当电子能量大于势能时，我们可以得到一个行波形式的解， \[ \begin{aligned} k^2 &= \frac{2m_0}{\hbar^2}\left[E-U_0\right] \\ \psi(x) &= A\mathrm{e}^{\pm ikx} \\ \Psi(x, t) &= A \mathrm{e}^{\pm i(kx - \omega t)}\\ \end{aligned} \] 电子波能量的表达式为， \[ E = U_0 + \frac{\hbar^2k^2}{2m_0} = U_0 + \frac{p^2}{2m_0} \] 电子波动量的表达式为， \[ p = \hbar k \] 于是我们就得到了抛物型的自由电子波色散，

以及电子波的群速度， \[ v_g = \mathrm{d}\omega / \mathrm{d}k = \hbar k / m_0 \]

布洛赫波

在实际晶体中，我们有着更复杂的晶体势，薛定谔函数更加复杂. 但是晶体的周期性对应的布洛赫波给了这个体系非常清晰的图像，布洛赫定理告诉我们无论这个晶体势多么复杂，波函数在倒易空间都是具有周期性的. \[ -\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}+U_{C}(x) \psi(x)=E \psi(x) \quad U_{C}(\vec{r}+\vec{a})=U_{C}(\vec{r}) \]

\[ \psi(\vec{r})=u_{\vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} \quad u_{\vec{k}}(\vec{r}+\vec{a})=u_{\vec{k}}(\vec{r}) \]

因此对于一个实际晶体中的电子波色散而言，我们只需要关注第一布里渊取内的色散曲线即可，只要得到了这一区间的解，我们可以复现整个区间的色散. 而由于势能函数十分复杂，它的形状会和自由电子波的抛物线解有一定区别，但是在最低点附近，可以认为\(E-k\)的关系还是呈抛物线规律变化的，抛物线的斜率不同，可以用有效质量\(m^*\)来反应. 因此在实际处理过程中，不管势能函数多么复杂，我们可以针对不同体系提出不同的有效质量，在描述电子波色散时还可以用自由电子波的抛物线色散来近似，因为大部分的电子和空穴都聚集在带的底端，通过这种有效质量的近似，我们可以把在导带中的电子移动或者价带中的空穴移动当作是自由电子运动。

Kane带

Kane模型对抛物线型色散做了一阶修正，在\(k\)稍大时，抛物线近似和真实晶体的色散会出现一些差别，此时可以对色散关系作出一些非抛物线修正，Kane提出了一个与材料相关的系数\(\alpha\)，来描述这种效应.

实际晶体中电子色散（能带）

上面的讨论还是沿一个方向描述\(E\)和\(k\)的关系，在三维晶体中，有不同的晶向，每一个晶向有不同的周期性和相对应的不同的势能。由于势能和周期性的不同，色散关系也将不同，也就是有着不同的能带。能带可以沿着每一个方向进行描绘，就像之前我们在第一布里渊区扫描出来的声子色散一样.

这个图和上面的高对称点的声子色散图非常相近，在声子色散图中，上半部分是光学支，下半部分是声学支；在电子色散图中，上半部分是导带部分，下半部分是价带部分. 要注意虽然我们这里画出来了非常复杂的能带曲线，并不代表我们对这些能带都非常感兴趣. 对于声子来说，由于其平衡分布是玻色-爱因斯坦分布，因此基本色散曲线上的每一块都会有声子分布. 而对于电子来说，受泡利不相容原理的影响，它的平衡分布为费米-狄拉克分布，因此基本上只有导带底或者价带顶有电子或空穴分布. 有效质量、Kane模型的引入，也正是因为电子的这种分布特性，否则不论怎么修正或近似就都没意义了.

根据导带能量最小值的位置和价带能量最大值的位置是否重合，我们可以把半导体分为直接带隙半导体和间接带隙半导体。直接带隙半导体导带能量最小值和价带能量最大值出现在相同的波矢处，因此当电子和空穴在最值处重组时，他们具有相同的动量，比如GaAs，这种半导体的载流子重组时能量会以光的形式发散出来。间接带隙半导体导带的最小能量和价带的最大能量发生在不同的动量处，此时载流子重组时能量一般不会以光的形式发散出来，而是以热 (声子)的形式释放，比如Si。

子带及量子阱

当电子的运动受限时，其在受限运动方向会发生能级分离，其具有离散的能量。对于一维无限深方阱，其容许能级为 \[ E_j = \frac{\hbar^2k_j^2}{2m} = \frac{\hbar^2j^2\pi^2}{2mD^2}, \quad j =1,2,3,\ldots \] 当阱越窄、有效质量越小时，这种量子限制效应越强，容许能级就越高.

当势阱的宽度与电子的德布罗意波长相当时，这种量子限制效应就比较显著了. 我们可以大致估计一下电子的德布罗意波长，对于Si，有效质量\(m_n^*\approx 1.18 m_0\)， \[ E = \frac{p^2}{2m} = \frac{(\hbar k)^2}{2m} =( \hbar \frac{2\pi}{\lambda})^2 / 2m \approx \frac{3}{2}k_BT \]

\[ \lambda \approx \sqrt{\frac{4\pi^2\hbar^2 }{3mk_BT}} \approx 5.7 \, \mathrm{nm} \]

对于Si而言，大约10nm的量子阱就可以观察到量子限制效应了. 对于GaAs，其\(m^*_n = 0.066m_0\)，这种量子限制效应就更加明显。半导体就是由多层薄膜构成的系统，因此这种效应在半导体器件中非常常见且重要.

对于GaN HEMT，在GaN层和它的三元合金层的界面上，比如\(\mathrm{Al}_x\mathrm{Ga}_{1-x}\mathrm{N}\)，会形成一层二维电子气（2DEG），这一层的电子面密度最高可达到\(2\times 10^{13}/cm^2\)。这样高的二维电子气密度可以大幅减小源、漏终端的接触电阻. 加上GaN的高电子迁移率（\(1500cm^2/V\cdot s\)），GaN HEMT可以实现高功率输出和优越的高频性能. \(\mathrm{Al}_x\mathrm{Ga}_{1-x}\mathrm{N}\)这一层很薄，因此量子限制效应是要明显起到影响的，处理这一层的电子输运问题时是要考虑子带的.

对于薄膜这类的量子阱，可以认为电子在x-y方向是没有限制的，得到的是平面波解，而在z方向受到量子阱的限制，能量是分立的.

这种特性产生了子带（subband）的现象.

注意这里的横轴是x-y平面的波矢幅值，由于z方向的量子限制，在导带中诱导出了具有不同最小能量的子带. 到这里，Qing Hao文章里 (Hao Q, Zhao H, Xiao Y. A hybrid simulation technique for electrothermal studies of two-dimensional GaN-on-SiC high electron mobility transistors[J]. Journal of Applied Physics, 2017, 121(20): 204501.)的电子MC的基本输入参数和模型部分大致就可以理解了，写这么一大堆东西的初衷就是为了看懂这段话：

Electron MC simulations are used to predict the heat generation due to phonons emitted by the hot 2DEG at the interface between GaN and AlGaN alloys. Three conduction band valleys are included in electron MC simulations. From low to high energy, they are the \(\Gamma_1\) valley, the U valley (the valley between L and M points), and the \(\Gamma_3\) valley. All valleys are represented with an analytical nonparabolic band following the Kane’s model,30 i.e., \(E_i(1+\alpha_iE_i) = \hbar^2k^2/2m^*_{0,i}\), where E is the kinetic energy of electrons, \(m^*_0\) is the electron effective mass at the band edge, and \(i\) is the index for the three valleys. In this model, the effective mass is kinetic-energy-dependent as \(m^* = m_0^*(1 + 2\alpha E)\). Using the energy-dependent effective mass allows the electron to be treated as in a parabolic band. Due to quantum confinement, discrete subbands are generated for each valley. By solving the Schrodinger-Poisson equation for the AlGaN/GaN heterostructure, the self-consistent subband energy structure can be calculated. It has been shown that just considering two subbands of the lowest valley can be sufficient for an electric field as high as \(4\times 10^7 \text{V/m}\) V/m. Three subbands of the lowest valley have been considered, with the second and third subbands separated from the first one by 0.11eV and 0.15 eV, respectively. These three subbands and their energies are adopted in the electron MC simulations. For the higher two valleys, subbands are not considered because they are not as important for the electric field considered in this work. This simplification for the U and \(\Gamma_3\) valleys is also a common practice in electron MC simulations of GaN for an electric field of a few 10 MV/m.

虽然没实际做过电子MC模拟，不过我理解上面这一大堆东西就相当于在声子MC模拟前对声子色散建模一样，我们从声子色散中按一定概率抽取不同波矢、频率的声子让他随机运动、碰撞，在电子MC模拟中大概就相当于在建模的能带中按一定概率抽取电子.

态密度

上面讨论的是色散关系，研究色散关系时，我们只是在描述\(\omega\)和\(k\)之间的依赖关系，即粒子能量和动量之间的关系，我们在乎依赖关系，不在乎对于某一个能量附近，到底存在多少个态，每个态上到底有多少个粒子填充. 态密度是在处理第一个问题，即粒子态数量和能量之间的关系；分布函数描述的是第二个问题，即态已经清楚了，我们想知道这个态上到底有多少个粒子填充. 这两个问题都解决了，那么粒子的所有分布情况我们就都弄清楚了.

当我们谈态密度时，我们谈的是态的数目沿能量的分布. 因为平衡态的玻色分布或者费米分布，都是能量和温度的函数，温度相同时，能量相同的单粒子态上的平衡分布的平均粒子数是相等的，这方便我们进行描述.

在态密度的计算中，主要用到的就是极限定理和准连续近似. 极限定理指出，在能量准连续的条件下，对于量子数足够大的状态，一个量子态在相空间对应\(h^r\)的相体积，\(r\)为粒子的自由度数. 同时，对于实际的统计系统，只要温度不太低，体积足够大，粒子的任意两个相邻能级之间的间隔\(\Delta \epsilon_i\)比起来\(k_BT\)是小得多的， \[ \frac{\Delta \epsilon_i}{k_BT} \ll 1 \] 因此粒子的能量可以看成是准连续的.在极限定理和准连续近似的基础上，我们要求态密度，实际上就是求相空间中两个等能面间围出来的体积

\[ g(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon = \frac{\mathrm{d}\Omega(\epsilon)}{h^r}J \]

其中\(J\)是自旋简并度. 无论电子还是声子，态密度的计算方式都是一样的，不同粒子的区别就在于相空间中等能面的形状可能不同，而等能面的形状完全受色散关系所控制，从这里可以稍微体会到这种波粒二象性的关系是怎么联系到一起的. 不论什么材料，态在\(k\)空间的分布都是一样的，但是不同的材料有着不同的色散关系，因此不同材料的态沿着能量的分布是不一样的.

我们可以把相空间转化到波矢空间上， \[ \begin{aligned} N &= \Omega / h^3\\ &= \int \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathrm{d}p_x\mathrm{d}p_y\mathrm{d}p_z/h^3\\ &= \frac{V}{h^3}\int \mathrm{d}\hbar k_x \mathrm{d}\hbar k_y\mathrm{d}\hbar k_z\\ &= \frac{V}{8\pi^3}\int \mathrm{d}k_x \mathrm{d}k_y \mathrm{d}k_z \end{aligned} \] 从上面的关系可以看到，一个量子态在相空间中占据的体积是\(h^3\)，在波矢空间中占据的体积是\(\dfrac{8\pi^3}{V}\). 由于色散与坐标空间无关，我们都可以只在波矢空间中进行态密度的计算. 在各向同性近似下，等能面构成了波矢空间的一个球，因此单位体积、单位波矢内的态数量表达式就是 \[ D(k) \mathrm{d}k = \frac{4\pi k^2}{8\pi^3 / V} \frac{\mathrm{d}k}{V} J = \frac{k^2}{2\pi^2}J\mathrm{d}k \]

声子的态密度

声子没有自旋简并度，因此 \[ D(\omega) \mathrm{d}\omega= \frac{k^2}{2\pi^2}\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}\omega}\mathrm{d}\omega = \frac{\omega^2}{2\pi^2v_p^2v_g}\mathrm{d}\omega \] 当选取了不同的色散模型时（\(\omega = \operatorname{f}(k)\)），相速度\(v_p\)和群速度\(v_g\)的表达式会有所不同，导致了态密度的结果也不相同.

电子的态密度

电子存在自旋自由度，因此 \[ D(k) \mathrm{d}k = \frac{k^2}{\pi^2} \mathrm{d}k \] 考虑能量和波矢间具有球面抛物型能带，实际上就是给出一个电子波的色散， \[ \begin{aligned} E - E_c &= \frac{\hbar^2}{2m^*}(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2) = \frac{\hbar^2}{2m^*}k^2\\ \end{aligned} \] 对于电子，我们一般不用频率间隔来定义态密度，而是直接采用能量来定义态密度， \[ D(E) \mathrm{d}E = \frac{k^2}{\pi^2} \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}E}\mathrm{d}E = \frac{m^*}{\pi^2\hbar^2} k = \frac{m^*}{\pi^2\hbar^2} \sqrt{\frac{2m^*(E - E_c)}{\hbar^2}} \]

粒子数分布

色散处理了粒子能量和动量的关系，态密度给出了粒子可处于的态的分布。我们现在已经知道了有多少个态，它们是怎么分布的，现在要解决的问题就是怎么把粒子填充到这些态里，即每个态上到底有多少个粒子。粒子数分布给出了在平衡时，每一个态上粒子的数目.

玻尔兹曼在19世纪70年代提出了著名的等概率假说：孤立系统平衡态下各个可能的微观状态出现的概率相等。因此对于一个体系，其最可能处于的分布就是使得微观状态数最多的分布，我们称之为最可几分布. 在实际粒子数很大的情况，最可几分布远大于其他分布的概率，因此我们可以用最可几分布代替平均分布. 因此对最可几分布的求解，实际上是一个排列组合的最值问题.

根据粒子特性的不同，其在态上的填充方式也不同，因此微观态数的计算表达式也不同，导致了最值求解即平衡分布的不同. 根据粒子在态上填充的方式，可以将这类全同粒子系统分为两大类，一类是玻色系统：每个量子态上可填充的粒子数不受限制，声子是典型的玻色子，平衡分布满足玻色分布；另一类是费米系统：每个量子态上最多只能容纳一个粒子，即著名的泡利不相容原理，电子是典型的费米子，平衡分布满足费米分布. 最值求解的过程可能稍微复杂一些，但是微观状态数的表达数是很直观的，可以考虑这样一个简单的情形，能级\(i\)上，\(n_i\)个粒子占据\(g_i\)个简并态，一共有多少种占据方式？下面这个图里就是4个粒子5个简并态的情况.

对于玻色子，一个量子态上可以填充多个粒子，因此这实际上是一个隔板隔小球的问题，我们在\(n_i+g_i-1\)个位置中挑出\(g_i-1\)个位置来放置量子态，因此第\(i\)个能级的微观态数目就是 \[ W_i = C_{n_i + g_i -1}^{g_i - 1} \] 整个系统包含的微观状态数就是 \[ \prod_i W_i = \prod_i W_i = \prod_i \frac{(n_i + g_i -1)!}{n_i!(g_i - 1)!} \]

对于费米子，一个量子态上最多只能填充一个粒子，因此这相当于在\(g_i\)个态中挑出\(n_i\)个态来让粒子占据，其余空着，因此第\(i\)个能级的微观态数就是 \[ W_i = C_{g_i}^{n_i} = \frac{g_i!}{(g_i - n_i)!n_i!} \] 整个系统包含的微观状态数就是 \[ \prod_i W_i = \prod_i W_i = \prod_i \frac{g_i!}{(g_i - n_i)!n_i!} \]

不论是费米子还是玻色子，大家都需要满足粒子数守恒和总能量守恒： \[ \left\{\begin{array}{l} \Sigma_{i} n_{i}=N \\ \Sigma_{i} n_{i} \varepsilon_{i}=E \end{array}\right. \] 这就是等式约束下的最优化问题，可以用拉格朗日乘子法求解；对于不等式约束下的最优化问题，可以通过增加KKT条件转换为等式约束下的问题，同样用拉格朗日乘子法求解. 玻色系统和费米系统宏观性质上的区别，在最根本上就是粒子填充方式的区别，这样简单的区别能够推导出完全不同的宏观特性来.

声子的Bose-Einstein分布

通过最优化问题的求解，可以得到玻色系统的最可几分布为， \[ n_i = \frac{g_i}{\exp({\frac{\epsilon_i - \mu_0}{k_BT}}) - 1} \] 其中\(\mu_0\)是粒子的化学势，对应着粒子数守恒条件，实际上是粒子数守恒条件中引入的一个拉格朗日乘子，最终通过与热力学关系对应得到的具体表达式，\(\epsilon_i/k_BT\)对应着能量守恒条件. 对于声子和光子来说，它们是能量量子化出来的准粒子，因此不存在粒子数守恒条件，那么对于声子的平衡分布就是， \[ n_i = \frac{g_i}{\exp\left[\epsilon_i / (k_BT)\right] - 1} = \frac{g_i}{\exp\left[(\hbar\omega_i) / (k_BT)\right] - 1} \] 这是声子数按频率的分布，\(g_i\)是能量为\(\hbar\omega_i\)的态数，在量子力学里我们叫能级\(i\)的简并度，在传热领域里，一般将其表述为声子的态密度\(D(\omega)\mathrm{d}\omega\). 所以能量为\(\hbar\omega\)的声子数就可以描述为 \[ n(\omega) \mathrm{d}\omega = D(\omega) f(\omega)\mathrm{d}\omega, \quad f(\omega) = \frac{1}{\exp\left[(\hbar\omega_i) / (k_BT)\right] - 1} \]

\[ \text{声子数} = \text{态数目} \times \text{单个量子态上的平均粒子数} \]

电子的Fermi-Dirac分布

通过最优化问题的求解，可以得到费米系统的最可几分布为， \[ n_i = \frac{g_i}{\exp({\frac{\epsilon_i - \mu_0}{k_BT}}) + 1} \] 电子是典型的费米子，电子需要满足粒子数守恒条件，因此\(\mu_0\)这一项是仍然保留的，就是因为这一项，造成了电子和声子截然不同的性质. 在温度较低时， \[ \frac{\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathbf{i}}-\boldsymbol{\mu}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{k} \mathbf{T}} \rightarrow \begin{cases}+\infty, & \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathbf{i}}>\boldsymbol{\mu}_{\mathbf{0}} \\ -\infty, & \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathbf{i}}<\boldsymbol{\mu}_{\mathbf{0}}\end{cases} \] 因此 \[ \lim _{T \rightarrow 0} f_{i}= \begin{cases}1, & \varepsilon_{i}<\mu_{0} \\ 0 . & \varepsilon_{i}>\mu_{0}\end{cases} \] 因此电子的填充特性是从最低单粒子态开始填起，依次向上填充，直到填满为止，把最高的单粒子能级叫作费米能级\(\epsilon_F\).

一些相关性质的计算

粒子或态数目相关

声子截止频率

声子的数目虽然没有限制，但是声子对应的声波是由振动产生的，每一支声波的自由度只有N个，对应每一个声子支的数目只有N个，因此态密度的积分需要满足 \[ \int_0^{\omega_m}D(\omega)\mathrm{d}\omega = \int_0^{\omega_m}\frac{Vk^2}{2\pi^2v_g}\mathrm{d}\omega = N \] 以德拜模型为例，假设声子没有色散，即群速度保持恒定，则 \[ \int_0^{\omega_m}D(\omega)\mathrm{d}\omega = \int_0^{\omega_m}\frac{V\omega^2}{2\pi^2v_g^3}\mathrm{d}\omega = N \] 得到德拜频率上限为， \[ \omega_m = \left(\frac{6\pi^2v_g^3N}{V}\right)^{1/3} \]

电子费米能级

电子的总数目是守恒的，通过这个关系可以对费米能量的大小作出一个估计，在低温时，电子量子态的填充从最低能级开始，从一个能级填到下一个能级，直到所有的电子被放置到不同的量子态. \[ n = \int_{E_c}^{E_f} D(E) f(E)\mathrm{d}E = \int_{E_c}^{E_f} \frac{m^*}{\pi^2\hbar^2} \sqrt{\frac{2m^*(E - E_c)}{\hbar^2}} \mathrm{d}E = \frac{1}{3 \pi^{2}}\left(\frac{2 m^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3 / 2}\left(E_{f}-E_{\mathrm{c}}\right)^{3 / 2} \] 通常，把导带能量最低点设置为参考点并将能量置零. 于是通过上面的关系式，可以从给定的电子数密度和有效质量计算对应的费米能级. \[ E_f = \frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2 n )^{2/3} \sim 10^{-18} - 10^{-19}J \]

温度决定了transition区域的宽度.

对于实际的半导体来说，费米能级在什么地方？一般来说，费米能级在带隙中的某个位置. 所以一般而言，导带底的能量是要大于费米能量的，因此只有导带底部的很少的一些态才会有电子填充，同理，价带顶部只有很少的态才被空穴填充. 因此我们并不关心离价带底部很远的复杂能带关系，一些基本的几个Valley和subband加上抛物线近似以及有效质量和Kane模型就够用了.

能量相关

声子比热

\[ E = \sum_p \int_0^{\omega_m}\hbar\omega n(\omega)\mathrm{d}\omega = \sum_p \int_0^{\omega_m}\hbar\omega D(\omega)f_0(\omega, T)\mathrm{d}\omega \]

因此 \[ C = \frac{\partial E}{\partial T} = \sum_p \int_0^{\omega_m}\hbar\omega \frac{\omega^2}{2\pi^2v_p^2v_g}\frac{\partial f_0(\omega, T)}{\partial T} \mathrm{d}\omega \] 不同的模型给出了不同的色散，体现在这里的区别就是最高角频率、群速度和相速度. 以Debye模型为例， \[ \omega = v_g k \] 于是 \[ C = \int_0^{\omega_m}\hbar\omega \frac{3\omega^2}{2\pi^2v_g^3}\frac{\hbar \omega e^{\frac{\hbar \omega}{T k_{B}}}}{T^{2} k_{B}\left(e^{\frac{\hbar \omega}{T k_{B}}}-1\right)^{2}}\mathrm{d}\omega \] 定义无量纲能量（所以这里可以看到玻尔兹曼常数\(k_B\)是一个很关键的概念，它将温度和能量联系在一起.） \[ x = \frac{\hbar\omega}{k_BT} \] 上面的积分可以转换成无量纲的形式， \[ C=9 \kappa_{\mathrm{B}}\left(\frac{N}{V}\right)\left(\frac{T}{\theta_{\mathrm{D}}}\right)^{3} \int_{0}^{\theta_{\mathrm{D}} / T} \frac{x^{4} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{2}} \]

经典输运过程

前面讨论了色散、态密度、平衡分布，我们可以处理一般的热力学性质计算的问题了. 然而只有当系统处于非平衡状态时，输运才会发生，此时平衡分布无法再描述系统的状态. 平衡分布函数依赖于系统的能量、温度和化学势，而非平衡函数不光依赖于这些量，还依赖于空间坐标和速度.

SMRT近似下的线性Boltzmann方程

在单弛豫时间近似下，BTE的形式为： \[ \frac{\partial f}{\partial t}+v \cdot \nabla_{r} f+\frac{\boldsymbol{F}}{m} \cdot \nabla_{v} f=-\frac{f-f_{0}}{\tau} \] 引入偏差函数： \[ g = f - f_0 \] 此时BTE可以改写为： \[ \frac{\partial g}{\partial t}+\frac{\partial f_{0}}{\partial t}+v \cdot \nabla_{r} f_{0}+v \cdot \nabla_{r} g+\frac{\boldsymbol{F}}{m} \cdot \nabla_{v} f_{0}+\frac{\boldsymbol{F}}{m} \cdot \nabla_{v} g=-\frac{g}{\tau} \] 考虑分布函数离平衡态偏差很小的情况，此时成立以下假设：

• 非稳态项可以忽略
• \(g\)的梯度远远小于\(f_0\)的梯度
• \(g\)远小于\(f_0\)

于是方程可以简化为： \[ g=-\tau\left(v \cdot \nabla_{r} f_{0}+\frac{\boldsymbol{F}}{m} \cdot \nabla_{v} f_{0}\right) \] 即： \[ f=f_0-\tau\left(v \cdot \nabla_{r} f_{0}+\frac{\boldsymbol{F}}{m} \cdot \nabla_{v} f_{0}\right) \] 在小扰动情况下，分布函数的解可以通过把\(g\)看成是\(f\)的一阶展开（\(f_0\)是\(f\)的零阶展开）并忽略高阶项得到，这个方程被称作线性Boltzmann方程，由分布函数可以计算各种感兴趣物理量的通量，进而计算等效输运系数。

声子热导率

\[ f_{0}=\frac{1}{\exp \left(\hbar \omega / k_{\mathrm{B}} T\right)-1} \]

声子并不受到外力， \[ f(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{k})=f_{0}-\tau \frac{\mathrm{d} f_{0}}{\mathrm{~d} T} \boldsymbol{v} \cdot \nabla T \] 考虑x方向的热流，热流的表达式为\(f\hbar\omega v_x\)，需要考虑所有动量空间的贡献（细节可参考输运过程(1)-从BTE到声子热导率），在各向同性近似下，考虑动量空间的贡献，实际上就变成了一个球坐标下的积分， \[ \begin{aligned} J_{qx} &= \sum_{p} \int_{0}^{k_{\max}} \mathrm{d}k \int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d} \phi \, k^2\sin\theta \cos \theta \hbar \omega f / (2 \pi)^{3} \\ &= \sum_{p} \int_{0}^{\omega_{\max}} \mathrm{d}\omega \int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d} \phi \,D(\omega)\sin\theta \cos \theta \hbar \omega fv_g / 4\pi \end{aligned} \] 这里的\(D(\omega) = \dfrac{k^2}{2\pi^2 v}\)，其实只是数学上的处理，但是我们可以把它理解成对应频率的态简并度. 代入线性玻尔兹曼方程可以得到， \[ \begin{aligned} J_{q x}(x) &= \sum_{p} \int_{0}^{\omega_{\max }} \mathrm{d} \omega\left[\int_{0}^{2 \pi}\left\{\int_{0}^{\pi} v \cos \theta \hbar \omega\left[f_{0}-\tau \frac{\mathrm{d} f_{0}}{\mathrm{~d} T} \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} x} v \cos \theta\right] \frac{D(\omega)}{4 \pi} \sin \theta \mathrm{d} \theta\right\} \mathrm{d} \varphi\right] \\ &= -\frac{1}{2} \sum_{p} \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} x} \int_{0}^{\omega_{\max }} \mathrm{d} \omega\left\{\int_{0}^{\pi} \tau v^{2} \sin \theta \cos ^{2} \theta \times \hbar \omega D(\omega) \frac{\mathrm{d} f_{0}}{\mathrm{~d} T} \mathrm{~d} \theta\right\} \\ & = -\frac{1}{3} \sum_{p} \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} x} \int_0^{\omega_m} C_{\omega} v_\omega^{2} \tau_\omega \mathrm{d} \omega \end{aligned} \]

得到了傅里叶导热定律.

电子漂移扩散方程

考虑电子的玻尔兹曼方程，电子和声子相比，它受到电场力，因此一维情况下SMRT近似下的玻尔兹曼方程可以写为 \[ v \cdot \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{Ee}{m^*} \cdot\frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{f(v,r)-f_{0}}{\tau} \] 考虑\(x\)方向的电流，有 \[ J(x) = e\int f(v,x)v\mathrm{d}v \] 代回到BTE中，相当于在方程左右两侧同时乘以\(v\)后再积分，我们把这个量叫作分布函数的一阶矩. 平衡分布是各向同性的，不对通量作出贡献. 因此我们有 \[ \int v^2 \frac{\partial f}{\partial x}+v\frac{Ee}{m^*} \frac{\partial f}{\partial v} \mathrm{d}v=-\frac{J(x)}{\tau e} \] 根据分布积分，存在 \[ \int v\frac{Ee}{m^*} \frac{\partial f}{\partial v} \mathrm{d}v = v\frac{Ee}{m^*}f \Big|_{-\infty}^{+\infty} - \int \frac{Ee}{m^*}f \mathrm{d}v = -\frac{Ee}{m^*}n(x) \]

进一步地，我们可以将方程左边的另一项写成 \[ \int v^2 \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}v = \frac{\partial }{\partial x} \int v^2 f\mathrm{d}v = \frac{\partial}{\partial x} n(x) v_{\text{ave}}^2 \] 其中\(<v^2>\)是速度的均方平均. 于是方程可以整理为 \[ v_{\text{ave}}^2\frac{\partial n(x)}{\partial x} - \frac{Ee}{m^*}n(x) = - \frac{J(x)}{\tau e} \] 在扩散漂移方程 (drift-diffusion equation)中，引入一个参数叫做迁移率 \[ \mu = \frac{e\tau}{m^*} \] 同时把均方速度\(v_{\text{ave}}^2\)用平衡速度分布代替，在一维情况下\(v_{\text{ave}}^2 = \frac{k_BT}{m^*}\)，在三维情况下\(v_{\text{ave}}^2 = \frac{3k_BT}{m^*}\). 进而我们可以定义扩散系数 \[ D = \mu k_BT/e \] 于是我们得到了半导体中经典的扩散漂移方程，对于电子和空穴，分别有 \[ \begin{aligned} &J_{n}=q n(x) \mu_{n} E(x)+q D_{n} \frac{d n}{d x} \\ &J_{p}=q p(x) \mu_{p} E(x)-q D_{p} \frac{d n}{d x} \end{aligned} \] TCAD软件比如Sentaurus里求解的就是扩散漂移方程，给出电流分布. 从上面的处理中也可以看出扩散漂移方程本身的局限性，虽然整个方程的推导是基于玻尔兹曼方程的，然而平衡速度的引入包含了认为电子和晶格间处于热平衡状态的假设，忽略掉了热电子、光学声子以及声学声子之间的非平衡相互作用.