爱因斯坦关系

爱因斯坦关系式给出了玻尔兹曼气体的扩散系数和迁移率的关系， \[ D = \mu k_BT \] 扩散系数乘上负浓度梯度等于扩散流密度，迁移率乘上外力等于载流子速度，载流子速度乘上载流子浓度等于载流子漂移流密度，爱因斯坦关系式是在载流子扩散-漂移运动达到平衡时建立的关系。根据迁移率定义的不同，爱因斯坦关系式一般有两种形式，一种是半导体里所常见的电子迁移率和扩散系数的关系，也称为Einstein–Smoluchowski关系， \[ D = \frac{\mu_q k_B T}{q} \] 另一种是球形颗粒流过液体时满足的关系式，也被称为Stokes-Einstein关系，在分子模拟里经常用这个关系来计算流体的自扩散系数， \[ D = \frac{k_BT}{6\pi\eta r} \] 其中\(\eta\)是液体的动力粘度，\(r\)是球形颗粒的半径。对于一些实际非球形的分子，\(r\)要相应地换成分子的流体力学半径，其中某些系数也会有所区别。

推导

载流子速度和外力的关系满足 \[ v = \mu F \] 对于保守力来说，力的大小和势能梯度成正比，于是 \[ F = - \nabla V(x) \] 于是漂移流密度为 \[ J_\text{drift} = n(x) v(x) = - n(x)\mu(x)\nabla V(x) \] 扩散流和浓度梯度成正比，于是 \[ J_\text{diffusion}(x) = - D(x) \nabla n(x) \] 平衡状态，没有净流量，于是 \[ D(x)\nabla n(x) = - n(x)\mu(x)\nabla V(x) \] 对于热平衡状态，载流子的浓度只和能量有关，如果载流子满足玻尔兹曼分布， \[ n(x) = N\exp(- V(x)/k_BT) \] 那么 \[ - D(x)V(x) / (k_BT) = - n(x)\mu(x)\nabla V(x) \] 于是 \[ D = k_BT \mu \] 对电子来说，电子迁移率是用电场强度定义的，和上面推导的迁移率正好差了一个电荷量\(q\)，于是 \[ D = \frac{k_BT\mu_q}{q} \] 对于粘性流体力学中Stokes近似下的小球定常扰流问题，有 \[ F = 6\pi \eta rv \] 于是 \[ D = \frac{k_BT}{6\pi\eta r} \]